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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen erster Ordnung

Exakte Differentialgleichung

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Eine Differentialgleichung der Form

$\displaystyle q(x,y) y^\prime + p(x,y) = 0 $

heißt exakt, wenn eine Stammfunktion $ F$ existiert mit

$\displaystyle p=F_x,\ q = F_y \Leftrightarrow (p,q)^{\operatorname t}= \operatorname{grad} F \,. $

Die Lösungen lassen sich dann implizit als Niveaulinien darstellen,

$\displaystyle F(x,y) = c \,, $

wobei die Konstante $ c$ durch eine Anfangsbedingung festgelegt werden kann. Man schreibt eine exakte Differentialgleichung oft auch in der Form

$\displaystyle p dx + q dy = 0 \,, $

um die symmetrische Behandlung der Variablen $ x$ und $ y$ hervorzuheben.

In Anlehnung an die Theorie der Arbeitsintegrale ist bei stetig differenzierbaren Funktionen $ p$ und $ q$ die Integrabilitätsbedingung

$\displaystyle p_y = q_x $

notwendig für die Existenz von $ F$. Sie ist hinreichend, falls das betrachtete Definitionsgebiet einfach zusammenhängend ist.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011