Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen-Spezielle skalare Differentialgleichungen-Differentialgleichungen zweiter Ordnung-Methode der unbestimmten Koeffizienten für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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	Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung
	Methode der unbestimmten Koeffizienten für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Für bestimmte rechte Seiten kann eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t) + pu^\prime(t) + q u(t) = f(t)$

durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden. Einige gebräuchliche Fälle sind

Polynome:

$\displaystyle f(t) = \sum_{j=0}^n c_j t^j\to u(t) = \sum_{j=0}^n u_j t^j \,,$
falls $q\ne0$ .
Falls , d.h. 0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, muss mit multipliziert werden. Ist zusätzlich , so ist eine weitere Multiplikation mit erforderlich.
Exponentialfunktionen:

$\displaystyle f(t) = \exp(\lambda t) \to u(t) = c \exp(\lambda t) \,,$
falls $\lambda^2 + p\lambda + q \ne 0$ . Ist $\lambda$ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss durch () ersetzt werden.
Trigonometrische Funktionen:

$\displaystyle f(t)=\exp(\alpha t)(c_1\sin(\omega t) + c_2\cos(\omega t)) \to u(t)=\exp(\alpha t)(a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t))\ .$
Sind $\alpha\pm\mathrm{i}\omega$ Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss mit multipliziert werden.

Treten gemischte Terme auf, so ist die Superposition der entsprechenden Ansätze möglich.

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automatisch erstellt am 6.6.2011