Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen-Spezielle skalare Differentialgleichungen-Differentialgleichungen zweiter Ordnung-Gedämpfte harmonische Schwingungen

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	Gedämpfte harmonische Schwingungen

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime} + 2r u^\prime + \omega_0^2 u = c \cos(\omega t)$

mit

modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis.

$\includegraphics[height=0.6\moimagesize]{feder2.eps}$

$\displaystyle 2r=\frac{c}{m}\ ,\ \omega_0^2=\frac{k}{m}$

$\includegraphics[height=0.6\moimagesize]{stromkreis.eps}$

$\displaystyle 2r=\frac{R}{L}\ ,\ \omega_0^2=\frac{1}{LC}$

Je nach Typ der Lösungen der homogenen Differentialgleichung () unterscheidet man die Fälle

starke Dämpfung ( $r>\omega_0$ ):

$\displaystyle u_h=a\exp(\lambda_1 t)+b\exp(\lambda_2 t)\,$
mit $\lambda_{1,2}=-r\pm\sqrt{r^2-\omega_0^2}$ ,
kritische Dämpfung ( $r=\omega_0$ ):

$\displaystyle u_h=\exp(-rt)(a+bt)\,,$
schwache Dämpfung ( $r<\omega_0$ ):

$\displaystyle u_h=\exp(-rt)\left(a\cos(\lambda t)+b\sin(\lambda t)\right)$
mit $\lambda=\sqrt{\omega_0^2-r^2}$ .

Eine partikuläre Lösung ist

$\displaystyle u_p(t) = c' \cos(\omega t + \delta)$

mit der Amplitude $c' = c / \sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2r\omega)^2}$ und Phase $\delta = \operatorname{arg}(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i} 2r\omega)$ . Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erhält man durch Addition von

$\includegraphics[width=.8\textwidth]{strom_versionen.eps}$

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, kann das qualitative Verhalten von Lösungen sehr unterschiedlich sein.

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automatisch erstellt am 6.6.2011