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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Phasenebene

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Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,

$\displaystyle u^{\prime\prime} = f(u,u^\prime) \,, $

können als Kurven

$\displaystyle t\mapsto (u(t),v(t)),\quad v = u^\prime\,, $

in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für eine stetig differenzierbare Funktion $ f$ durch jeden Punkt $ (u_0,v_0)$ genau eine Lösungskurve. Punkte $ (u_0,0)$ mit $ f(u_0,0)=0$ sind kritische Punkte der Differentialgleichung, die konstanten Lösungen $ u(t)=u_0$ entsprechen.
\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{Kap2_Phasenebene.eps}

Fasst man $ v$ als Funktion von $ u$ auf, so erhält man eine Differentialgleichung erster Ordnung

$\displaystyle \frac{dv}{du} v = f(u,v)\,, $

die die Lösung in der Phasenebene unmittelbar beschreibt.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011