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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Transformation auf Jordan-Form

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Das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = A u + b(t),\quad u=(u_1,\ldots,u_n)^{\operatorname t} \,, $

kann durch Transformation auf Jordan-Form, $ A\to J = Q^{-1} A Q$, komponentenweise gelöst werden. Mit $ u=Qv$, $ c=Q^{-1}b$ folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} v_n^\prime &=& \lambda_n v_n + c_n(t) \... ...ime &=& \lambda_1v_1 + \varrho_{2}v_2 + c_1(t) \,, \end{array}\end{displaymath}

wobei $ \lambda_i$ die Eigenwerte von $ A$ (bzw. Diagonalelemente von $ J$) sind und $ \varrho_i\in\{0,1\}$. Diese skalaren linearen Differentialgleichungen lassen sich sukzessive für $ i=n,\ldots,1$ lösen.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011