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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Transformation mehrdimensionaler Integrale

Transformation mehrdimensionaler Integrale

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Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation $ g$ eines regulären Bereiches $ U \subseteq \mathbb{R}^n$ mit

$\displaystyle \operatorname{det}g^\prime(x)\ne 0,\quad x\in U \,, $

gilt für stetige Funktionen $ f$:

$\displaystyle \int\limits_U f\circ g\, \vert\operatorname{det}g^\prime\vert\,dU = \int\limits_V f\,dV\,,\quad V=g(U)\,, $

wobei $ \operatorname{det} g'$ als Funktionaldeterminante der Transformation bezeichnet wird. Sie beschreibt die lokale Änderung des Volumenelementes

$\displaystyle d V = \vert\operatorname{det} g^\prime\vert \, dU \,. $

\includegraphics[width=\moimagesize]{a_trans_mehr_3}

Für eine lokal orthogonale Koordinatentransformation $ g$, d. h. bei orthogonalen Spalten von $ g^\prime$, ist

$\displaystyle \vert\operatorname{det}g^\prime\vert = \prod_{i=1}^n \left\vert \frac{\partial g}{\partial x_i} \right\vert \,, $

d.h., der Skalierungsfaktor des Volumenelements ist das Produkt der Skalierungsfaktoren der einzelnen Variablen.

Bei einer affinen Transformation $ y=Ax+b$ ändert sich das Volumenelement gemäß

$\displaystyle dy = \vert\operatorname{det}A\vert\,dx \,. $

Insbesondere gilt für eine Skalierung der Variablen, $ y_i=\lambda_i x_i$

$\displaystyle dy_i = \lambda_i\,dx_i \,. $

Die Voraussetzungen können etwas abgeschwächt werden. Insbesondere muss die Bijektivität von $ g$ und die Invertierbarkeit von $ g^\prime$ nur im Innern von $ U$ gefordert werden. Unstetigkeiten von $ f$ und bestimmte Singularitäten sind ebenfalls möglich, wenn die Existenz beider Integrale gewährleistet ist.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017