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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Integration - Flächenintegrale

Fluss durch einen Funktionsgraph

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Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes $ \vec{F}(x,y,z)$ durch den Graph $ {S}$ einer differenzierbaren skalaren Funktion $ z=f(x,y)$ nach oben über dem Definitionsgebiet $ D\subseteq \mathbb{R}^2$ ist

$\displaystyle \iint\limits_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint\limits_D -F_x \partial_x f-F_y \partial_yf+F_z\,dxdy\,. $

Die angegebene Formel folgt aus der Definition des Flussintegrals, wenn man $ S$ in der Form

$\displaystyle S: (u,v)\rightarrow \vec{r}(u,v)= \left( \begin{array}{c}x(u,v)\\... ... \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}u\\ v\\ f(u,v) \end{array}\right) $

parametrisiert. Es ist dann

$\displaystyle \partial_u \vec{r} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \partial_u f\... ...\left(\begin{array}{c}- \partial_u f\\ -\partial_v f\\ 1\end{array}\right)\, , $

und damit


    \begin{displaymath}\iint\limits_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot \vec{n}(u,v)\,dudv... ...} -\partial_u f\\ -\partial_v f\\ 1\\ \end{array}\right)\,dudv\end{displaymath}  
    $\displaystyle \quad = \iint\limits_D -F_x \partial_u f-F_y \partial_v f+F_z\,dudv \,.$  

Es soll der Fluss des Vektorfeldes

\begin{displaymath} \vec{F}=\left( \begin{array}{c} x\\ 1\\ z\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

nach oben durch den Graph der Funktion

$\displaystyle z=f(x,y)=x^2-y $

über dem Bereich

$\displaystyle D:\quad\vert x\vert+\vert y\vert\leq 1 $

berechnet werden.

Da sowohl das Vektorfeld als auch der Funktionsgraph symmetrisch zur $ yz$-Ebene sind, genügt es, den Bereich $ D$ für $ x\geq 0$ zu betrachten und das Ergebnis zu verdoppeln. Für den Gesamtfluss erhält man damit

$\displaystyle \iint\limits_D$ $\displaystyle -F_x\partial_x f-F_y \partial_y f+F_z\,dxdy = 2\int\limits_{0}^1\int\limits_{x-1}^{1-x}-x(2x)+1+x^2-y\,dy\,dx$    
  $\displaystyle =2\int\limits_{0}^1 \left[-x^2y+y-\frac{1}{2}y^2\right]_{y=x-1}^{y=1-x}\,dx = \int\limits_{0}^1 4x^3-4x^2-4x+4\,dx$    
  $\displaystyle = \left[x^4-\frac{4}{3}x^3-2x^2+4x\right]_{0}^1 = \frac{5}{3}\,.$    

Es soll der Fluss eines konstanten Vektorfeldes $ \vec{F}(x,y,z)=\vec{p}$ durch einen Teilbereich $ S$ einer Ebene $ E$,

$\displaystyle S:\quad z=f(x,y)=ax+by,\quad(x,y)\in D\subseteq\mathbb{R}^2\,, $

von unten nach oben berechnet werden.

Mit den Ableitungen $ \partial_x f= a\,,\ \partial_yf = b$ und der Formel für den Fluss durch einen Funktionsgraph erhält man

$\displaystyle \iint\limits_S \vec{F}\cdot d\vec{S}$ $\displaystyle =\iint\limits_D -ap_x-bp_y+p_z\,dxdy$    
  $\displaystyle =(-ap_x-bp_y+p_z)\operatorname{area}(D)\,.$    

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  automatisch erstellt am 9.10.2013