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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Differentiation - Skalar- und Vektorfelder

Vektorfelder in Polarkoordinaten

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Bezüglich der auf den Punkt

$\displaystyle (x,y) = (r\cos \varphi\,,\, r \sin \varphi) $

bezogenen orthonormalen Basis

$\displaystyle \vec{e}_r = \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \... ...hi = \left(\begin{array}{r} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{array} \right) $

besitzt das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y) =F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y $

die Darstellung

$\displaystyle F_r\vec{e}_r + F_\varphi \vec{e}_\varphi $

mit

$\displaystyle F_r=\vec{F}\cdot \vec{e}_r\,,\quad F_\varphi = \vec{F} \cdot \vec{e}_\varphi\,. $

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{a_vecfeld}
Das Vektorfeld einer typischen Quelle hat die Form

$\displaystyle \vec{F}(r,\varphi)=f(r)\vec{e}_r\, , $

wobei die Funktion $ f$ die Stärke des Feldes im Abstand $ r$ vom Ursprung beschreibt.

Für das links abgebildete Beispiel ist $ f(r)=1/r$, d.h.

$\displaystyle \vec{F}(r,\varphi) =\left(\begin{array}{c}\frac{\displaystyle 1}{... ...x}{x^2+y^2} \\ [2ex] \displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}\end{array}\right) \,. $

\includegraphics[width=0.4\moimagesize]{bsp_quelle_1}                 \includegraphics[width=0.4\moimagesize]{bsp_wirbel_1}

Entsprechend hat das Vektorfeld eines typischen Wirbels die Form

$\displaystyle \vec{F}(r,\varphi)=f(r)\vec{e}_\varphi\, . $

Für das rechts abgebildete Beispiel ist $ f(r)=r$, d.h.

$\displaystyle \vec{F}(r,\varphi) = \left(\begin{array}{r}-r\sin{\varphi}\\ r\c... ...}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-y\\ x\end{array}\right) \,. $

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  automatisch erstellt am 9.10.2013