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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Potentialtheorie - Skalares Potential

Konstruktion eines Potentials

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Besitzt ein Vektorfeld $ \vec{F}$ ein Potential $ U$, so kann dieses durch sukzessive Integration konstruiert werden. Bilden einer Stammfunktion bezüglich der ersten Variablen liefert

$\displaystyle U(x,y,z) = \int F_x dx = U_1(x,y,z)+C_1(y,z)\,. $

Nun folgt aus $ F_y = \partial_y U= \partial_y U_1 + \partial_y C_1$

$\displaystyle C_1(y,z) = \int \left(F_y-\partial_y U_1 \right)\,dy = U_2(y,z) + C_2(z) $

und schließlich aus $ F_z = \partial_z U = \partial_z U_1 + \partial_z U_2 +\partial_z C_2$

$\displaystyle C_2(z) = \int \left(F_z-\partial_zU_1 - \partial_z U_2\right)\,dz = U_3(z) + c\,. $

Insgesamt ergibt sich

$\displaystyle U(x,y,z) = U_1(x,y,z)+U_2(y,z)+U_3(z)+c\,. $

Ein Potential $ U$ eines Vektorfeldes $ \vec{F}(x,y,z) = \operatorname{grad} U$ kann auch mit Hilfe des Arbeitsintegrals bestimmt werden. Aufgrund der Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals kann ein Weg von $ P$ nach $ Q$ gewählt werden, der parallel zu den Koordinatenachsen verläuft.

Wählt man den Weg, der zunächst parallel zur $ x$-, dann parallel zur $ y$- und zuletzt parallel zur $ z$-Achse verläuft, ergibt sich für das Potential das Hakenintegral

$\displaystyle U(Q)=U(P)+\int\limits_{p_1}^{q_1} F_x(x,p_2,p_3)\,dx + \int\limits_{p_2}^{q_2} F_y(q_1,y,p_3)\,dy +\int\limits_{p_3}^{q_3} F_z(q_1,q_2,z)\,dz\,. $



\includegraphics[clip, width=.6\linewidth]{aussage890_bild}

Durch Permutation der Koordinaten ergeben sich noch fünf weitere mögliche Hakenintegrale. Man wählt daraus dasjenige aus, bei dem die Integranden möglichst einfach werden. Meist ist es günstig, für $ P$ den Ursprung zu wählen.

Die Integrabilitätsbedingung $ \operatorname{rot}\vec{F}=\vec{0}$ garantiert, dass $ F_y-\partial_y U_1$ nicht von $ x$ und $ F_z -\partial_z U_1 -\partial_z U_2$ weder von $ x$ noch von $ y$ abhängt, die Definitionen von $ U_2$ und $ U_3$ also gerechtfertigt sind. Es ist nämlich

$\displaystyle \partial_x(F_y -\partial_y U_1) = \partial_x F_y - \partial_y \partial_x U_1 = \partial_x F_y - \partial_y F_x =0\,. $

Analog gilt

$\displaystyle \partial_x(F_z -\partial_z U_1 -\partial_z U_2) = \partial_x F_z... ...ial_x U_1 - \partial_z \partial_x U_2 = \partial_x F_z - \partial_z F_x -0 =0 $

und

$\displaystyle \partial_y(F_z -\partial_z U_1 -\partial_z U_2) = \partial_y F_z - \partial_z \partial_y (U_1 + U_2) = \partial_y F_z - \partial_z F_y =0\,. $

Es wird das Potential $ U$ des Vektorfeldes

\begin{displaymath} \vec{F}=\left( \begin{array}{c} 2x+3z-yz\\ -2y-xz\\ 2+3x-xy\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

gesucht.

Integration von $ F_x$ nach $ x$ liefert

$\displaystyle \int F_x\,dx = \int 2x+3z-yz \,dx = \underbrace{x^2 +3xz -xyz}_{U_1(x,y,z)} +\,C_1(y,z)\,. $

Durch Integration nach $ y$ erhält man

$\displaystyle \int F_y - \partial_y U_1\,dy = \int -2y -xz +xz\,dy = \underbrace{-y^2}_{U_2(y,z)} +\,C_2(z)\,, $

und Integration nach $ z$ ergibt schließlich

$\displaystyle \int F_z - \partial_z U_1 -\partial_z U_2\,dz = \int 2 +3x -xy -3x +xy \,dz = \underbrace{2z}_{U_3(z)} +\,c\,. $

Somit ist das Potential

$\displaystyle U(x,y,z)=U_1(x,y,z) + U_2(y,z) + U_3(z) + c = x^2+3xz-xyz-y^2+2z+c\,, $

mit $ c\in\mathbb{R}$.
Für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F} = \left(\begin{array}{c} 2x+\alpha x^2y\\ x^3+4y^3\end{array}\right)\,,\quad \alpha \in \mathbb{R}\,, $

ist

$\displaystyle \operatorname{rot} \vec{F} = 3x^2-\alpha x^2\,. $

Damit das Feld ein Potential besitzt, muss also $ \alpha =3$ gelten.

Aus

$\displaystyle \partial_x U = F_x = 2x +3x^2y $

folgt

$\displaystyle U=x^2+x^3y+C_1(y), $

und die zweite Bedingung $ \partial_y U = F_y$ liefert

$\displaystyle x^3+C_1'(y) = x^3+4y^3 \Rightarrow C_1(y)=y^4 + c\,. $

Damit ergibt sich insgesamt $ U=x^2+x^3y+y^4+c$ als Potentialfunktion für $ \vec{F}$ im Fall $ \alpha =3$.
Für das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}=\left( \begin{array}{c} 2x+3z-yz\\ -2y-xz\\ 2+3x-xy\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

und den Potentialwert $ U(O)=0$ im Ursprung ergibt das Hakenintegral
$\displaystyle U(Q)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(O)+\int\limits_{0}^{q_1} F_x(x,0,0)\,dx + \int\limits_{0}^{q_2} F_y(q_1,y,0)\,dy +\int\limits_{0}^{q_3} F_z(q_1,q_2,z)\,dz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{q_1} 2x\,dx + \int\limits_{0}^{q_2} -2y\,dy +\int\limits_{0}^{q_3} 2+3q_1-q_1q_2\,dz$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle q_1^2-q_2^2+2q_3+3q_1q_3-q_1q_2q_3\,.$  

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  automatisch erstellt am 9.10.2013