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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Kosinus- und Sinusreihen

Fourier-Reihen von geraden und ungeraden Funktionen

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Die Fourier-Reihe einer geraden $ 2\pi$-periodischen Funktion $ f$ ist eine reine Kosinus-Reihe:

$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(kx) $

mit

$\displaystyle a_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(t)\cos(kt)\,dt,\quad k\ge 0\,. $

Entsprechend enthält die Fourier-Reihe einer ungeraden $ 2\pi$-periodischen Funktion nur Sinus-Terme:

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k=1}^\infty b_k \sin(kx) $

mit

$\displaystyle b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(t)\sin(kt)\,dt,\quad k\ge 1\,. $

Beide Aussagen folgen unmittelbar aus der Definition der Fourier-Koeffizienten, da die entsprechenden Integrale aus Symmetriegründen null sind.

Es wird die Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der geraden Hutfunktion

\begin{minipage}{.5\linewidth} \begin{center} \includegraphics[clip,width=.9\lin... ...in[-\pi,0)\\ \pi-x, & x\in[0,\pi)\\ \end{cases}\end{displaymath}\end{minipage}

gesucht.

Man erhält

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \pi-t\,dt= \pi $

und für $ k\ge1$
$\displaystyle a_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (\pi-t)\cos(kt)\,dt \overset{\text... ...sin(kt)}{k}\right]_0^\pi +\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \frac{\sin(kt)}{k}\,dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos(kt)}{k^2}\right]_0^\pi = \frac{2}{k^2\pi}\left(1-(-1)^k\right)\,.$  

Damit ergibt sich für $ k=2m$ bzw. $ k=2m+1$

$\displaystyle a_{2m} =0,\quad a_{2m+1}=\frac{4}{(2m+1)^2\pi}\,, $

und man erhält die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x) = \frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^\infty \frac{\cos((... ...2}+\frac{4}{\pi} \left( \frac{\cos(x)}{1}+\frac{\cos(3x)}{9}+\cdots\right)\,. $

Speziell folgt für $ x=0$ mit $ f(0)=\pi$

$\displaystyle \left(\pi-\frac{\pi}{2}\right)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots\,. $

Es wird die Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der ungeraden Funktion

\begin{minipage}{.5\linewidth} \begin{center} \includegraphics[clip,width=.9\lin... ...0)\\ 0, & x=0\\ 1, & x\in(0,\pi)\\ \end{cases}\end{displaymath}\end{minipage}

gesucht.

Man erhält

$\displaystyle b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \sin(kt)\,dt= \frac{2}{\pi}\left[ -\frac{\cos(kt)}{k}\right]_0^\pi = \frac{2}{k\pi}\left(1-(-1)^k\right) $

und damit für $ k=2m$ bzw. $ k=2m+1$

$\displaystyle b_{2m} = 0,\quad b_{2m+1} = \frac{4}{(2m+1)\pi}\,. $

Somit ergibt sich die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^\infty \frac{\sin((2m+1)x)}{2m+1} = \frac{4}{\pi}\left( \frac{\sin(x)}{1}+\frac{\sin(3x)}{3}+\cdots\right)\,. $

Setzt man $ x=\pi/2$, so folgt mit $ f(\pi/2)=1$

$\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 -\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\mp\cdots\,. $

Die Abbildung zeigt die ersten drei Partialsummen der Fourier-Reihe.

\includegraphics[width=.9\linewidth]{b_fourier_ungerade_f_p}

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  automatisch erstellt am 13.11.2013