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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Transformation - Definition und Eigenschaften

Differentiation der Fourier-Transformation

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Die Ableitung entspricht einer Multiplikation mit der transformierten Variablen und umgekehrt:
$\displaystyle f'(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \mathrm{i}y\hat{f}(y)$  
$\displaystyle xf(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) \,.$  

Für Funktionen $ f$ mit kompaktem Träger, bzw. falls $ f$ und $ f'$ genügend schnell abfallen, treten bei der partiellen Integration über $ \mathbb{R}$ keine Randterme auf. Somit folgt

$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f'(x)e^{-\mathrm{i... ...e^{-\mathrm{i}yx}}_{-\mathrm{i}ye^{-\mathrm{i}yx}} \,dx= \mathrm{i}y\hat{f}(y) $

und

$\displaystyle \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) = \mathrm{i}\int\limits_{-\infty}^\infty ... ...\limits_{-\infty}^\infty f(x) (-\mathrm{i}x)e^{-\mathrm{i}yx}\,dx = \hat{g}(y) $

mit $ g(x)=xf(x)$. Die oben genannten Voraussetzungen können abgeschwächt werden; dies erfordert jedoch Hilfsmittel der Funktionalanalysis.
Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-x^2/2},\quad \hat{f}(y)=\sqrt{2\pi}\,e^{-y^2/2} $

betrachtet.

Als Fourier-Transformation für die Ableitungen

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =-xe^{-x^2/2}=-xf(x)$    
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle = (x^2-1)e^{-x^2/2}=(x^2-1)f(x)$    

erhält man


$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)$ $\displaystyle = \sqrt{2\pi}\,\mathrm{i}y\,e^{-y^2/2} = \mathrm{i}y\hat{f}(y) = -\mathrm{i}\hat{f}\,'(y)$    
$\displaystyle \widehat{f''}(y)$ $\displaystyle = -\sqrt{2\pi}\,y^2e^{-y^2/2} = -y^2\hat{f}(y) = -\hat{f}\,''(y)-\hat{f}(y) \,.$    

Somit lässt sich die (inverse) Fourier-Transformation von allen Funktionen der Form $ p(x)\exp(-x^2/2)$, wobei $ p$ ein Polynom ist, explizit angeben.
Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-\vert x\vert},\quad \hat{f}(y)=\frac{2}{1+y^2} $

betrachtet.

Als Fourier-Transformation für die Ableitung

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =-\operatorname{sign}(x)e^{-\vert x\vert}$    

erhält man


$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)$ $\displaystyle = \frac{2\mathrm{i}y}{1+y^2}\,.$    

Umgekehrt erhält man für $ xe^{-\vert x\vert}$ die Fourier-Transformation

$\displaystyle \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) = -\frac{4\mathrm{i}y}{(1+y^2)^2}\,. $

Somit lässt sich die Fourier-Transformation von allen Funktionen der Form $ p(x)\exp(-\vert x\vert)$, wobei $ p$ ein Polynom ist, explizit angeben.
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  automatisch erstellt am 13.11.2013