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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Transformation - Definition und Eigenschaften

Verschiebung der Fourier-Transformation

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Eine Verschiebung der Variablen entspricht nach Fourier-Transformation bzw. Rücktransformation einer Multiplikation mit einer Exponentialfunktion:
$\displaystyle f(x-a) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \exp(-\mathrm{i}ay) \hat{f}(y)$  
$\displaystyle \exp(\mathrm{i}ax) f(x) \quad$ $\displaystyle \overset{\cal{F}}{\longmapsto}$ $\displaystyle \quad \hat{f}(y-a) \,.$  

Mit $ g(x)=f(x-a)$ und $ \tilde{x}=x-a$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-a)e^{-\mathrm{i}yx}\,... ...ilde{x})e^{-\mathrm{i}y\tilde{x}}\,d\tilde{x} = e^{-\mathrm{i}ya}\hat{f}(y)\,, $

und für $ h(x)=e^{\mathrm{i}ax}f(x)$ erhält man

$\displaystyle \hat{h}(y)= \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}(y-a)}x\,dx = \hat{f}(y-a)\,. $

Als Beispiel wird die Impuls-Funktion

$\displaystyle \chi(x)=\begin{cases} 1,\quad \vert x\vert\leq 1/2\\ 0,\quad\text{sonst} \end{cases},\quad \hat{\chi}(y)= \operatorname{sinc}(y/2) $

mit $ \operatorname{sinc} t =\sin t/t$ betrachtet.

Verschiebt man $ \chi$ um $ j$ nach rechts, so erhält man als Fourier-Transformation für $ \chi(x-j)$

$\displaystyle e^{-\mathrm{i}jy}\operatorname{sinc}(y/2)\,. $

Umgekehrt ergibt sich für die Fourier-Transformation von $ \exp(2\pi\mathrm{i}jx)\chi(x)$

$\displaystyle \hat{\chi}(y-2\pi j) = \frac{\sin(y/2-\pi j)}{y/2-\pi j} = \frac{(-1)^j\sin(y/2)}{y/2-\pi j}\,. $

Damit hat ein trigonometrisches Polynom der Form

$\displaystyle p(x) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} c_j e^{2\pi\mathrm{i}jx}\,, $

eingeschränkt auf $ [-1/2,1/2]$, die Fourier-Transformation

$\displaystyle \sin(y/2) \sum_{j\in\mathbb{Z}}\frac{c_j (-1)^j}{y/2-\pi j}\,. $

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  automatisch erstellt am 13.11.2013