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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Transformation - Definition und Eigenschaften

Skalierung der Fourier-Transformation

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Für $ a\ne 0$ gilt

$\displaystyle f(ax) \quad \overset{\cal{F}}{\longmapsto}\quad \hat{f}(y/a)/\vert a\vert \,. $

Mit $ g(x)=f(ax)$ und $ \tilde{x}=ax$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y)= \int\limits_{-\infty}^\infty f(ax)e^{-\mathrm{i}yx}\,... ...{-\mathrm{i}\tilde{x}y/a}\,d\tilde{x} = \frac{1}{\vert a\vert} \hat{f}(y/a)\,. $

Dabei wurde bei der zweiten Gleichheit berücksichtigt, dass sich für $ a <0$ die Integrationsgrenzen umkehren.

Gesucht wird die Fourier-Transformation der Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-a(x-b)^2}\,. $

Verwendet man die Fourier-Transformation

$\displaystyle \hat{g}(y)=\sqrt{2\pi}e^{-y^2/2} $

von

$\displaystyle g(x)=e^{-x^2/2}\,, $

so erhält man nach Skalierung mit $ \sqrt{2a}$, dass

$\displaystyle h(x)=e^{-ax^2} $

die Fourier-Transformation

$\displaystyle \hat{h}(y)=\sqrt{\pi/a}\,e^{-y^2/(4a)} $

besitzt, und nach Verschiebung um $ b$ nach rechts folgt schließlich

$\displaystyle \hat{f}(y)=\sqrt{\pi/a}\,e^{-\mathrm{i}by}e^{-y^2/(4a)}\,. $

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  automatisch erstellt am 13.11.2013