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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Komplexe Fourier-Reihen

Differentiation und Integration von Fourier-Reihen

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Eine Fourier-Reihe kann gliedweise integriert und differenziert werden:

$\displaystyle \int \sum_{k\ne 0} c_k e_k(x)\,dx = d_0 + \sum_{k\ne 0} d_k e_k(x),\quad d_k = (\mathrm{i}k)^{-1}c_k \,, $

mit $ d_0\in\mathbb{R}$ bzw.

$\displaystyle \left( \sum_k d_k e_k(x) \right)' = \sum_{k\ne 0} c_k e_k(x),\quad c_k = (\mathrm{i}k)d_k \,, $

mit $ e_k(x) = \exp(\mathrm{i}kx)$. Dabei wird die Konvergenz der auftretenden Reihen vorausgesetzt. Hinreichend dafür ist beispielsweise, dass die Beträge der Fourier-Koeffizienten quadratsummierbar sind: $ \sum_k \vert c_k\vert^2 < \infty$.

Ist das Absolutglied $ c_0$ der Fourier-Reihe nicht null, so hat die Reihe keine periodische Stammfunktion und die gliedweise Integration liefert keine Fourier-Reihe mehr.

Die Funktion

$\displaystyle f(x)=\vert\sin x\vert $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim -\frac{2}{\pi} \sum_{k\in\mathbb{Z}} \frac{1}{4k^2-1}e^{... ...= \frac{2}{\pi} -\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4k^2-1}\cos(2kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_diff_1}
Die Ableitung

$\displaystyle f'(x)=\operatorname{sign}(\sin x)\cos x $

besitzt demzufolge die Fourier-Reihe

$\displaystyle f'(x) \sim -\frac{2}{\pi} \sum_{k\neq 0} \frac{2\mathrm{i}k}{4k^2... ...{2\mathrm{i}kx} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{2k}{4k^2-1}\sin(2kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_diff_2}
Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Funktion

$\displaystyle f(x)=x,\quad x\in[-\pi,\pi)\,, $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \mathrm{i} \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k}e^{\mathrm{i}kx} = -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\sin(kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_int_1}
Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Stammfunktion

$\displaystyle F(x)=x^2/2,\quad x\in[-\pi,\pi) $

besitzt demzufolge die Fourier-Reihe

$\displaystyle F(x) \sim d_0 + \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k^2}e^{\mathrm{i}kx} = d_0 + 2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(kx) \,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_int_2}

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 13.11.2013