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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Funktionentheorie

Möbiustransformationen

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Eine rationale Funktion mit Zähler- und Nennergrad $ \le 1$,

$\displaystyle f:\quad z \mapsto w = \frac{az + b}{cz + d},\quad \operatorname{det} \left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right)\neq 0 \,, $

wird als Möbius-Transformation oder gebrochen lineare Transformation bezeichnet. Dabei dürfen $ z$ und $ w$ Werte in $ \bar{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ annehmen.

Die Umkehrabbildung ist

$\displaystyle w \mapsto z = \frac{-dw + b}{cw - a}\,. $

Eine Möbius-Transformation ist durch die Bilder $ w_j$ von drei Punkten $ z_j$ eindeutig bestimmt und kann mit Hilfe des Doppelverhältnisses in der Form

$\displaystyle \frac{w-w_2}{w-w_3}\,:\,\frac{w_1-w_2}{w_1-w_3} = \frac{z-z_2}{z-z_3}\,:\,\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3} $

angegeben werden. Diese Identität kann nach $ z$ oder $ w$ aufgelöst werden, wobei die Konvention $ \frac{\infty}{\infty} = 1$ zu verwenden ist.

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 21.3.2003