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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Codierungstheorie | |
Endliche Körper |
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Codierungstheorie bedient sich der Linearen Algebra über endlichen Körpern.
Ringe und Körper
Ein Ring ist eine Menge , zusammen mit Operationen und , welche Assoziativ-, Kommutativ- und Distibutivgesetze erfüllen. Ferner hat ein Ring eine und eine , und zu jedem gibt es ein mit .
Hat jedes Element auch ein multiplikativ Inverses , gilt also , so heißt ein Körper.
Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen einen Ring, aber keinen Körper. Beispiele für Körper sind die rationalen Zahlen , die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen .
Ist ein Ring, so bezeichnet den Polynomring über in der Unbestimmten . Seine Elemente sind Polynome mit Koeffizienten in , Addition und die Multiplikation sind die für Polynome gebräuchlichen.
Vorsicht, ein Polynom ist ein formaler Ausdruck, der erst durch Einsetzen von Werten für eine Funktion von nach definiert. Für gewisse Grundringe ist es möglich, daß zwei verschiedene Polynome auf diese Weise dieselbe Funktion definieren.
Ein Ideal in einem Ring ist eine Teilmenge, die folgende Eigenschaften erfüllt.
Jedes Ideal in definiert nun einen neuen Ring, den Restklassenring . Formal sind dessen Elemente Äquivalenzklassen von Elementen aus , wobei falls . Addition und Multiplikation sind repräsentantenweise definiert.
In der Praxis rechnet man in mit den Elementen aus , nur unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Elemente in alle verschwinden. Insbesondere kann man während einer Rechnung die einzelnen Terme beliebig modulo abändern. Von der Äquivalenzklassendefinition merke man sich in erster Linie, daß auf diese Weise die Zahl der Elemente von als Zahl der Äquivalenzklassen in ermittelt werden kann.
Zum Beispiel hat die Elemente und . Es wird in repräsentantenweise
Endliche Körper
Wir definieren nun zunächst die endlichen Primkörper als für alle Primzahlen .
Ein Polynom in heißt irreduzibel, falls es sich nicht als Produkt zweier Polynome von echt kleinerem Grad schreiben läßt. Das läßt sich in der Praxis oft nur durch Testen aller potentieller Divisoren mittels Polynomdivision entscheiden.
So ist zum Beispiel irreduzibel. Wäre es reduzibel, so hätte es einen Linearfaktor der Form als Teiler, und somit als Nullstelle. Das Polynom hat aber keine Nullstelle in .
Dahingegen ist reduzibel, und zwar als .
Ist irreduzibel, so bildet einen Körper. Die Bezeichnung als rechtfertigt sich dadurch, daß man zeigen kann, daß dieser Körper im wesentlichen nur vom Grad des irreduziblen Polynoms abhängt. Umgekehrt kann man zeigen, daß für alle Primzahlen und für alle wenigstens ein irreduzibles Polynom von Grad in existiert (im allgemeinen sogar recht viele). Kurz,
Es ist , indem Konstanten mit Polynomen von Grad identifiziert werden. So wird auch ein Vektorraum über , mit Basis . In der Tat ergibt sich mit Polynomdivision durch allgemein in
Beachte, daß sich der Restklassenring , der ebenfalls Elemente enthält, im Falle wesentlich von unterscheidet. Zum Beispiel gilt für stets . Dies ist zum Beispiel für falsch falls .
Primitive Elemente, Zech-Logarithmen
Jedes Element in erfüllt . Ist der minimale Exponent , der zu macht, so heißt primitiv. Man kann zeigen, daß jeder Körper der Form wenigstens ein primitives Element enthält. (Ein zufällig ausgewähltes Element wird mit guter Wahrscheinlichkeit primitiv sein.)
Bezüglich eines fest gewählten primitiven Elements werden die Zech-Logarithmen wie folgt definiert. Ist , so heißt der Zech-Logarithmus von . Dies legt eindeutig fest, es sei denn, es war . Diesenfalls setzen wir .
Für die Addition sind diese Zech-Logarithmen hilfreich, da für
Betrachten wir einmal den Körper . Als primitives Element kommt etwa in Frage. In der Tat , und . Die diesbezüglichen Zech-Logarithmen können der Tabelle
Frobenius
Der Frobenius-Automorphismus von ist eine bijektive Selbstabbildung von , gegeben durch . Es gilt für , insbesondere also falls . Ferner ist . Iteriertes Anwenden liefert .
automatisch erstellt am 21.3.2003 |