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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Codierungstheorie | |
Zyklische Codes |
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Erzeugerpolynome.
Im folgenden sei eine Primzahlpotenz und der Körper mit Elementen.
Ein linearer Code heißt zyklisch, falls
Im folgendem sei kein Vielfaches von . Ausgehend von einer Faktorisierung in
Ein solches Polynom vom Grade heißt Erzeugerpolynom des zyklischen Codes mit Dimension . Eine Erzeugermatrix ist
Minimalabstand bei zyklischen Codes.
Der Minimalabstand bei zyklischen Codes ist i.a. schwierig zu bestimmen; folgende Abschätzung ist jedoch bekannt.
Bezeichne die Anzahl der zu teilerfremden Zahlen in .
Ist eine Nullstelle in von mit , so heißt eine primitive -te Einheitswurzel über .
Sei ein zyklischer Code und eine primitve -te Einheitswurzel gegeben. Gilt dann für eine Wahl von , so folgt .
Codierung bei zyklischen Codes.
Um bei einem zyklischen Code mit , Länge und Dimension ein Informationswort einem Codewort zuzuweisen, können die Kontrollbits mit Hilfe von Polynomdivision berechnet werden. Dabei wird das Informationswort zunächst als Element aus dargestellt,
Man verwendet dann als Codewort .
Unvollständiges Decodieren.
Gegeben sei ein Erzeugerpolynom für den zyklischen Code der Länge so, daß mit einer primitiven -ten Einheitswurzel und das Erzeugerpolynom die Nullstellen hat. Ist , so gilt und es können bis zu Fehler decodiert werden. Allerdings gibt es i.a. Elemente , die nicht decodiert werden können.
Das Verfahren wird besonders übersichtlich, wenn folgende Vereinfachungen vorausgesetzt werden. Seien Nullstellen von . Es seien ferner das Codewort und das empfangene Wort
Dann können Koeffizienten für die Polynome
Ist , so ist die -te Stelle des empfangenen Wortes durch die Übertragung verlorengegangen und wird durch
automatisch erstellt am 21.3.2003 |