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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Differentialgleichungen

spezielle Differentialgleichungen

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 Lineare DGL 1. Ordnung

$ y^\prime = p(x) \, y + q(x)$

 $ y = y_p + y_h$

$ \displaystyle y_h = c\, \exp\big(P(x)-P(x_0)\big)\,, \quad y_p = \int_{x_0}^x \exp\big(P(x)-P(s)\big)\, q(s) \, ds$

mit $ P$ Stammfunktion von $ p$ und $ y(x_0) = y_0 \ \Rightarrow \ c = y_0$
    
 Bernoulli DGL

$ y^\prime + p(x) \, y = q(x)\,y^k$

 Substitution $ u = y^{1-k}$

$ \dfrac{1}{1-k}u^\prime = -p(x) \, u + q(x)$
    
 Separable DGL

$ y^\prime = p(x) \, g(y)$

 Trennung der Veränderlichen

$ \displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int p(x) \, dx$
    
 Homogene DGL

$ y^\prime = f(y/x)$

 Substitution $ x z(x) = y(x)$

$ z^\prime = \dfrac{1}{x}\big(f(z)-z\big)$
    
 Exakte DGL

$ p(x,y) + q(x,y) \, y^\prime = 0$

 notwendig für Exaktheit: $ p_y = q_x$

implizite Lösung $ F(x,y) = c$ mit $ F_x = p$ und $ F_y = q$
    
 Konstante Koeffizienten

$ u'' + pu' + qu = 0$

 Nullstellen $ \lambda_1, \lambda_2$ des charakteristischen Polynoms:

zwei reelle: $ u_h = a\exp(\lambda_1 t) + b \exp(\lambda_2 t)$

eine doppelte: $ u_h = a\exp(\lambda t) + b \, t \exp(\lambda t)$

konjugiert komplex mit $ \lambda_{1,2} = \mu \pm \varrho \mathrm{i}$:

         $ u_h = \exp(\mu t) \big(a \cos(\varrho t)+b\sin(\varrho t)\big)$
    
 Gedämpfte harmonische Schwingung

$ u'' + 2ru' + \omega_0^2 u = c\,\cos(\omega t)$

 starke Dämpfung: $ r^2 > \omega_0^2$

kritische Dämpfung: $ r^2 = \omega_0^2$

schwache Dämpfung: $ r^2 < \omega_0^2$

$ u_p = \tilde{c} \cos(\omega t + \delta)$ mit $ \tilde{c}= c / \sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2r\omega)^2}$

und $ \delta = \arg(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\,2r\omega)$

Resonanz: $ \omega^2=\omega_0^2 -2r^2$
    
(Autor: Marcus Reble)
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  automatisch erstellt am 31.1.2006