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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Differentialgleichungen

spezielle Ansätze für partikuläre Lösungen

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 1. Ordnung

$ y'=py+q(x)$

 $ \displaystyle q(x) = \sum_{j=0}^n c_j x^j \ \to \ y_p = \sum_{j=0}^n d_j x^j$

$ \displaystyle q(x) = c \exp(\lambda x),\,\lambda\ne p \ \to \ y_p = \frac{c}{\lambda-p}\,\exp(\lambda x)$

$ \displaystyle q(x) = c \exp(p x)\ \to \ y_p = c x \exp(p x)$

$ \displaystyle q(x) = a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x) \ \to \ y_p = c\cos(\omega x)+d\sin(\omega x)$

 2. Ordnung

$ u''+pu'+qu=f(t)$

 $ \displaystyle f(t) = \sum_{j=0}^n c_j t^j \ \to \ u_p = \sum_{j=0}^n u_j t^j$, falls $ q\ne0$, $ p\neq 0$
   $ \displaystyle f(t) = \exp(\lambda t) \ \to \ u_p = c \exp(\lambda t)$, falls $ \lambda^2 + p\lambda + q \ne 0$

Ist $ \lambda$ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss $ c$ durch $ ct$ ($ ct^2$) ersetzt werden.
   $ f(t)=\exp(\alpha t)\big(a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)\big)$

$ \ \to \ u_p=\exp(\alpha t)\big(c\sin(\omega t) + d\cos(\omega t)\big)$

Sind $ \alpha\pm\mathrm{i}\omega$ Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss $ u_p$ mit $ t$ multipliziert werden.
    
 Allgemein Bestimmung der Koeffizienten von $ u_p$ durch Einsetzen.

Allgemeine Lösung ist $ y=y_h+y_p$ bzw. $ u=u_h+u_p$.

Bei gemischten Fällen Superposition der einzelnen Ansätze.

(Autor: Joachim Wipper)
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  automatisch erstellt am 31.1.2006