Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung-Komplexe Analysis-komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

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	Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Komplexe Analysis
	komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Cauchy-Riemann

Differentialgleichungen

komplex differenzierbar:

$f^\prime(z) = f_x(z) = -\mathrm{i}f_y(z) \quad\Leftrightarrow\quad u_x = v_y\,,\quad u_y = - v_x$

$\Rightarrow \Delta u = \Delta v = 0$

konjugiert harmonische

Funktion

$\Delta u=0$ auf

einfach zusammenhängend

$\Rightarrow \exists v: \Delta v=0$ und $f=u+\mathrm{i}v$ komplex differenzierbar

Isotropie

und Winkeltreue

Abbildung $z\mapsto w(z)$

dreht Richtungen um Winkel $\operatorname{arg} f'(z)$

streckt Längen um Faktor $\vert f'(z)\vert$

Orthogonalität krummliniger Gitter bleibt erhalten

elementare Abbildungen

Abbildung	Urbild	Bild
$w=z^\alpha$	Sektor $0 < \operatorname{arg} z < \gamma$	Sektor $0 < \operatorname{arg} w < \gamma \alpha$

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} & w=\dfrac{z+1}{\mathrm{i}z-\mathrm{i}}\\... ...ightarrow & z=\dfrac{\mathrm{i}w+1}{\mathrm{i}w-1} \end{array}\end{displaymath}$	Einheitskreisscheibe $\vert z\vert<1$	obere Halbebene $\operatorname{Im} w > 0$

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} &w=e^z \\ \Leftrightarrow & z=\operatorname{Ln} w\end{array}\end{displaymath}$	Streifen $0 < \operatorname{Im} z < \gamma$	Sektor $0 < \operatorname{arg} w < \gamma$

automatisch erstellt am 31.1.2006