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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Komplexe Analysis

Residuenkalkül

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Residuum $ f$ analytisch in $ D\setminus \{a\}\,,$

$ C\subset D$ entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um $ a$

$ \displaystyle\underset{z=a}{\operatorname{Res}} f(z) = \underset{a}{\operatorname{Res}} f = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C f(z) \,dz$

einfache Polstelle: $ \underset{a}{\operatorname{Res}} f = \lim\limits_{z\to a} (z-a) f(z)$

Pol $ n$-ter Ordnung: $ \underset{a}{\operatorname{Res}} f = \lim\limits_{z\to a} \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\,\left(\frac{d}{dz} \right)^{n-1} \Big((z-a)^nf(z)\Big)$
   
Residuensatz $ C$ entgegen dem Uhrzeigersinn orientierter Rand eines beschränkten Gebietes $ D$, $ a_j$ Singularitäten von $ f$ in $ D$:

$ \displaystyle\int\limits_C f(z) \,dz = 2\pi\mathrm{i}\,\sum\limits_j \underset{a_j}{\operatorname{Res}} f $
   
Trigonometrische

Integranden

 $ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} r(\cos t, \sin t)\,dt$ geht mit der Substitution $ z=e^{\mathrm{i}t}$ über in

$ \displaystyle\int\limits_{\vert z\vert=1}f(z)\,dz\,,\quad f(z) = r\left(\frac{... ...ht),\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\frac{1}{\mathrm{i}z}$
   
Rationale

Integranden

 $ f$ rational ohne reelle Polstellen, Zählergrad mindestens um 2 kleiner als Nennergrad:

$ \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi\mathrm{i}\sum\limits_{\operatorname{Im} a > 0} \underset{a}{\operatorname{Res}} f$
   
Transzendente

Integranden

 $ f$ rational ohne reelle Polstellen, Zählergrad kleiner als Nennergrad:

$ \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{\mathrm{i}\lambda x}\,dx = 2... ...e{Res}} \left(f(z)e^{\mathrm{i}\lambda z}\right)\,,\quad \lambda\in\mathbb{R}^+$
   
Algebraische

Integranden

 $ f$ rational ohne Polstellen auf der positiven reellen Achse, höchstens einfacher Pol bei 0, Zählergrad mindestens um 2 kleiner als Nennergrad:

$ \displaystyle\int\limits_0^\infty f(x) x^\alpha \,dx = \frac{2\pi\mathrm{i}}{... ... 0} \underset{a}{\operatorname{Res}}\big(f(z)z^\alpha\big) \,,\quad 0<\alpha<1$
   

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  automatisch erstellt am 31.1.2006