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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Konforme Abbildungen

Hauptsatz über konforme Abbildungen

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Jedes einfach zusammenhängende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene kann durch eine konforme Abbildung $ f$ auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden.

Für einen beliebigen Punkt $ z_0\in D$ kann die Abbildung durch die Bedingungen

$\displaystyle f(z_0)=0,\quad f'(z_0)>0 $

eindeutig festgelegt werden.

Als Beispiel soll der Halbkreis

$\displaystyle D:\quad \vert z\vert <1,\quad \operatorname{Re}z > 0 $

konform auf das Innere des Einheitskreises abgebildet werden.

Eine entsprechende Abbildung kann in mehreren Schritten realisiert werden.

Zunächst wird mit der Möbius-Transformation

$\displaystyle \xi=\frac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1} $

der Einheitskreis auf die obere Halbebene abgebildet. Dabei wird $ D$ auf den ersten Quadranten ( $ \operatorname{Re}\xi \ge 0,\;\operatorname{Im}\xi \ge 0$) abgebildet, da die Abbildung $ z\rightarrow\xi$ die imaginäre Achse invariant lässt. Durch Quadrieren,

$\displaystyle \eta =\xi^2\,, $

wird dann der erste Quadrant auf die obere Halbebene abgebildet.

Die abschließende Möbius-Transformation

$\displaystyle w=\frac{\mathrm{i}-\eta}{\mathrm{i}+\eta} $

bildet schließlich die obere Halbebene auf das Innere des Einheitskreises ab.

Zusammengefasst erhält man

$\displaystyle w=\frac{-\mathrm{i}(z^2+2z-1)}{z^2-2z-1}\,. $

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  automatisch erstellt am 21.11.2013