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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Kurvenintegrale

Stammfunktion

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Ist $ f$ in einem Gebiet $ D$ komplex differenzierbar, so gilt für einen in $ D$ verlaufenden Weg $ C$ von $ z_0$ nach $ z_1$

$\displaystyle \int\limits_C f' \,dz = f(z_1)-f(z_0) \,. $

Insbesondere ist also das komplexe Kurvenintegral für Funktionen mit komplexer Stammfunktion wegunabhängig und verschwindet für einen geschlossenen Weg.
Ist $ z_0=z(a)$ und $ z_1=z(b)$, so gilt für das Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_C f'\,dz = \int\limits_a^b f'(z(t))z'(t)\,dt = \int\limits_a^b \frac{d}{dt}\left(f(z(t))\right)\,dt = f(z_1)-f(z_0)\,. $

Die letzte Gleichheit folgt aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung für reelle Funktionen nach Aufspaltung von $ f$ in Real- und Imaginärteil.
Das Kurvenintegral für die Funktion $ f(z)=e^z$ über den Weg $ C: z(t) = 1+t(1+\mathrm{i})\,,\,t\in[0,1]$, ist
$\displaystyle \int\limits_C e^zdz$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t+\mathrm{i}\sin t)(1+\mathrm{i}) dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t-\sin t)dt+\mathrm{i}\int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t+\sin t)dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[e^{1+t}\cos t\right]_0^1 +\mathrm{i} \left[e^{1+t}\sin t \right]_0^1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^2(\cos 1+\mathrm{i} \sin 1)-e^1(1+\mathrm{i}0)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{2+\mathrm{i}}-e\,.$  

Dies entspricht der Differenz der Werte der Stammfunktion $ F(z)=e^z$ von $ f$ an den beiden Enden des Weges.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013