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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Fundamentale Sätze

Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene

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Zwei Kurven $ C_0$ und $ C_1$ in einem Gebiet $ D$ heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung

$\displaystyle [0,1]^2 \ni (s,t) \mapsto z(s,t) \in D $

gibt, für die $ t \mapsto z(k,t)\,, \; 0 \leq t \leq 1\,,$ Parametrisierungen von $ C_k$, $ k=0,1$, sind.

Analog bezeichnet man $ \tilde{C}$ als homotop zu einem Punkt $ P$, wenn $ z(1,t)=p$, $ t\in[0,1]$, ist. Anschaulich bedeutet dies, dass sich $ \tilde{C}$ in $ D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a_homotopie}

In der Abbildung sind die fett gezeichneten Kurven $ C_0$ und $ C_1$ homotop. Aufgrund des Loches im Gebiet besteht jedoch keine Homotopie zur gestrichelten Kurve $ \tilde{C}$, die zu jedem Punkt $ P$ in $ D$ homotop ist.

Die folgenden Abbildungen zeigen zwei Homotopien. Dabei sind neben den fett gezeichneten, homotopen Kurven einige der Übergangskurven dargestellt.

\includegraphics[height=.3\moimagesize]{b_homotopie_1}   \includegraphics[height=.3\moimagesize]{b_homotopie_2}
$ z(s,t)=e^{2\pi\mathrm{i}t}\left((1-s)+s\sqrt{\cos(4\pi t)}\right)$   $ z(s,t)=(1-s)z_0(t)+sz_1(t)$

Für das folgende Beispiel sind keine der drei abgebildeten Kurven homotop.

\includegraphics[height=.3\moimagesize]{b_homotopie_3}

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  automatisch erstellt am 21.11.2013