Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen

Satz von Liouville


[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Eine analytische Funktion $ f$, die auf ganz $ \mathbb{C}$ beschränkt ist, d.h.

$\displaystyle \sup\limits_{z\in\mathbb{C}} \vert f(z)\vert=c<\infty,
$

ist konstant.
Aus der Abschätzung für komplexe Ableitungen folgt

$\displaystyle \vert f'(z)\vert \le \frac{1}{r} \max_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert \le \frac{1}{r} c
$

für einen Kreis um $ z$ mit Radius $ r$. Die Grenzwertbildung $ r\to\infty$ liefert damit

$\displaystyle f'(z)=0
$

für alle $ z\in\mathbb{C}$, d.h. $ f$ ist konstant.
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

  automatisch erstellt am 21.11.2013