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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen

Fundamentalsatz der Algebra

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Jedes nicht konstante Polynom

$\displaystyle p(z)= z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z^1 + a_0 $

mit Koeffizienten $ a_0, a_1, \dots, a_{n-1} \in{\mathbb{C}}$ besitzt in $ \mathbb{C}$ mindestens eine Nullstelle, d.h. es gibt ein $ z_0 \in \mathbb{C}$ mit $ p(z_0) = 0 .$
Nimmt man an, dass $ p$ keine Nullstelle in $ \mathbb{C}$ hat, so ist die Funktion $ z\mapsto1/p(z)$ analytisch. Da $ \vert p(z)\vert\to\infty$ für $ \vert z\vert\to\infty$, gilt $ \lim\limits_{\vert z\vert\to\infty}1/p(z)=0$. Damit ist $ 1/p$ beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, was aber einen Widerspruch darstellt. Folglich muss $ p$ mindestens eine Nullstelle in $ \mathbb{C}$ besitzen.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013