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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Residuenkalkül

Residuum

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Für eine in einer punktierten Kreisscheibe $ D\backslash\{a\}$ analytische Funktion $ f$ definiert man das Residuum im Punkt $ a$ als

$\displaystyle \underset{z=a}{\operatorname{Res}}f(z) =\underset{a}{\operatorname{Res}}f= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C f(z)\,dz \,, $

wobei $ C\subset D\backslash\{a\}$ ein geschlossener Weg mit $ n(C,a)=1$ ist (z. B. ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis).

\includegraphics[width=.5\moimagesize]{a_residuum}

Ist $ a$ eine Polstelle $ n$-ter Ordnung, d.h. gilt

$\displaystyle f(z) = \frac{c_{-n}}{(z-a)^n} + \cdots + \frac{c_{-1}}{z-a} + g(z) $

mit $ \vert g(z)\vert=O(1)$ für $ z\to a$, so ist

$\displaystyle \underset{a}{\operatorname{Res}}f = c_{-1} \,. $

Dies gilt allgemeiner für eine absolut konvergente Laurent-Reihe

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z-a)^n\, $

in der Umgebung einer wesentlichen Singularität.

Aus Cauchys Theorem folgt, dass die Definition von $ \underset{a}{\operatorname{Res}}f$ unabhängig von der gewählten Kurve $ C$ ist.

Die äquivalenten Definitionen für eine Polstelle und eine Laurent-Reihe folgen, da die Funktionen $ g(z)$ und $ (z-a)^n$, $ n\neq -1$, in einer Kreisscheibe um $ a$ Stammfunktionen besitzen, und damit ihr Integral über den geschlossenen Weg $ C$ null ist. Nach Definition der Umlaufzahl gilt

$\displaystyle \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{1}{z-a}\,dz = 1\,, $

was sich für einen Kreis auch unmittelbar nachrechnen lässt.

Als Beispiel werden drei typische Fälle betrachtet.

Die rationale Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^3-z^2} $

hat Polstellen bei $ z=0$ und $ z=1$. Aus

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z} $

folgt $ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=-1$ und $ \underset{1}{\operatorname{Res}}f=1$.

Für

$\displaystyle f(z)=e^{1/z} $

folgt aus der Laurent-Entwicklung

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^{-n} $

$ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=1$.

Die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{\sin(1/z)}{z^2} $

besitzt die Stammfunktion

$\displaystyle F(z)=\cos(1/z)\,. $

Folglich ist für einen Kreis $ C$ um 0

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz =0 $

und somit $ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=0$.

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  automatisch erstellt am 21.11.2013