Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Residuenkalkül

Residuensatz

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Sei $ C$ der entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Rand eines beschränkten Gebietes $ D$.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{a_residuensatz}

Dann gilt für eine in $ \overline{D}$ stetige und in $ D$ bis auf endlich viele Singularitäten $ a_j$ analytische Funktion $ f$

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz = 2\pi\mathrm{i} \sum_{j=1}^n \underset{a_j}{\operatorname{Res}}f \,. $

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{e_residuensatz}

Betrachtet man für jede Singularität $ a_j$ ( $ j=1,\cdots,n$) einen im Uhrzeigersinn orientierten Kreis $ C_j$ um $ a_j$, der ganz in $ D$ liegt und in dessen Innerem sich keine andere Singularität befindet, so gilt nach Cauchys Theorem

$\displaystyle \int\limits_{C+C_1+\cdots+C_n} f(z)\,dz =\int\limits_C f(z)\,dz +\sum_{j=1}^n \int\limits_{C_j}f(z)\,dz =0\,, $

denn $ f$ ist analytisch im Inneren des von $ C+C_1+\cdots+C_n$ berandeten Teilgebiets.

Andererseits gilt für jeden Weg $ C_j$

$\displaystyle \int\limits_{C_j}f(z)\,dz= -2\pi\mathrm{i}\,\underset{a_j}{\operatorname{Res}}f\,, $

da die Wege $ C_j$ im Uhrzeigersinn orientiert sind. Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhält man schließlich

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz = 2\pi\mathrm{i} \sum_{j=1}^n \underset{a_j}{\operatorname{Res}}f \,. $

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1-z}{z^2+z^3}=\frac{1-z}{z^2(1+z)} $

und für $ C$ der entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Kreis um 0 mit Radius $ 2$ betrachtet.

Bei $ z=0$ hat $ f$ eine Polstelle zweiter Ordnung, und für das Residuum an dieser Stelle ergibt sich

$\displaystyle \underset{0}{\operatorname{Res}}f$ $\displaystyle = \frac{1}{1!}\left[\frac{d}{dz}(z^2f(z))\right]_{z=0} =\left[\fr... ...frac{1-z}{1+z}\right)\right]_{z=0} =\left[-\frac{2}{(1+z)^2}\right]_{z=0}=-2\,.$    

Bei $ z=-1$ hat $ f$ eine einfache Polstelle, und für das Residuum an dieser Stelle erhält man


$\displaystyle \underset{-1}{\operatorname{Res}}f$ $\displaystyle = \lim_{z\to -1} (1+z)f(z) = \lim_{z\to -1}\frac{1-z}{z^2}=2\,.$    

Da beide Polstellen im Inneren von $ C$ liegen, folgt mit Hilfe des Residuensatzes


$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz$ $\displaystyle = 2\pi\mathrm{i}(\underset{0}{\operatorname{Res}}f +\underset{-1}{\operatorname{Res}}f) = 2\pi\mathrm{i}(-2 +2) =0\,.$    

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 21.11.2013