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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Residuenkalkül

Trigonometrische Integranden

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Ein Integral der Form

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\,dt $

mit einer rationalen Funktion $ r$ kann durch die Substitution

$\displaystyle z = e^{\mathrm{i}t},\quad \cos t=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\r... ...\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right),\quad dz = \mathrm{i}z\,dt \,, $

in das komplexe Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz,\quad f(z) = r\left(\frac{1}{2}\left(z+\fr... ...frac{1}{2\mathrm{i}}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right) \frac{1}{\mathrm{i}z}\,, $

über den Einheitskreis $ C:\,\vert z\vert=1$ überführt werden. Nach dem Residuensatz gilt

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\,dz=2\pi\mathrm{i}\sum_{\vert a\vert<1} \underset{a}{\operatorname{Res}}f\,, $

d.h. das Integral ist das $ (2\pi\mathrm{i})$-fache der Summe der Residuen von $ f$ an den Polstellen $ a$ im Inneren des Einheitskreises.
Als Beispiel wird das Integral

$\displaystyle I=\int\limits_0^\pi \frac{1}{c+\cos t}\,dt $

mit $ c\in(1,\infty)$ betrachtet.

Mit der Substitution

$\displaystyle z=e^{\mathrm{i}t}\,, \quad dz = iz \, dt \,, \quad \cos t = \frac{1}{2} \left( z+ \frac{1}{z} \right) $

erhält man aufgrund der Symmetrie

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{c+\cos t}\,dt = \int\limits_C \frac{1}{\mathrm{i}}\, \frac{1}{z^2+2cz+1}\,dz$    
  $\displaystyle =\int\limits_C\frac{1}{\mathrm{i}}\, \frac{1}{\left(z+c-\sqrt{c^2-1}\right)\left(z+c+\sqrt{c^2-1}\right)}\,dz = \int\limits_C f(z)\,dz\,,$    

wobei $ C$ der entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Einheitskreis ist. Von den Polstellen des Integranden $ f$ liegt nur die einfache Polstelle $ a=-c+\sqrt{c^2-1}$ im Inneren des Einheitskreises, und es gilt

$\displaystyle \underset{a}{\operatorname{Res}}f = \lim_{z\to a} (z-a)f(z)= \lim... ...mathrm{i}\left(z+c+\sqrt{c^2-1}\right)} = \frac{1}{2\mathrm{i}\sqrt{c^2-1}}\,. $

Damit ergibt sich für das Integral

$\displaystyle I=2\pi\mathrm{i}\,\underset{a}{\operatorname{Res}}f = \frac{\pi}{\sqrt{c^2-1}}\,. $

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  automatisch erstellt am 21.11.2013