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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Potenzreihen - Taylor-Reihe

Taylor-Polynom

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ wird durch das Taylor-Polynom

$\displaystyle p_n(z) = \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!} (z-a)^j $

in jedem Punkt $ a\in D$ mit der Ordnung $ n+1$ approximiert:

$\displaystyle \vert f(z)-p_n(z)\vert = O\left(\vert z-a\vert^{n+1}\right),\quad z\to a \,. \, $

Das Restglied besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle f(z) - p_n(z) = \left( \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}(w-z)}\,dw \right) \,(z-a)^{n+1} \,, $

wobei $ C\subset D$ ein geschlossener Weg mit $ n(C,a)=n(C,z)=1$ (z. B. ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um $ a$, der $ z$ enthält) ist.

Die Formel für das Restglied kann mit vollständiger Induktion nach $ n$ bewiesen werden. Für $ n=0$ erhält man mit der Cauchyschen Integralformel

$\displaystyle f(z)-p_0(z) =$ $\displaystyle f(z)-f(a) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-z)}\,dw - \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C\frac{f(w)}{(w-a)} \,dw$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C f(w) \frac{(w-a)-(w-z)}{(w-a)(w-z)}\,dw$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)(w-z)}\,dw \right)(z-a)\,.$    

Die Formel des Restgliedes für $ n+1$ ergibt sich aus dem Restglied für $ n$ und der Integralformel für Ableitungen


$\displaystyle f(z)-p_{n+1}(z) =$ $\displaystyle f(z)-p_n(z) - \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(z-a)^{n+1}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}(w-z)}\,dw \right) \,(z-a)^{n+1}$    
  $\displaystyle - \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+2}}\,dw\right)(z-a)^{n+1}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,\frac{(w-a)-(w-z)}{(w-a)(w-z)}\,dw\right) (z-a)^{n+1}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+2}(w-z)}\,dw\right) (z-a)^{n+2}\,.$    

Wählt man für $ C$ einen Kreis um $ a$ mit Radius $ r < \operatorname{dist}(a,\partial D)$, so folgt für die Approximationsordnung für $ \vert z-a\vert<r$

$\displaystyle \vert f(z)-p_n(z)\vert \le \frac{1}{2\pi}(2\pi r) \frac{\vert z-a... ...} \max_{\vert w-a\vert=r}\vert f(w)\vert=O\left(\vert z-a\vert^{n+1}\right)\,. $

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  automatisch erstellt am 21.11.2013