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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Potenzreihen - Taylor-Reihe

Taylor-Reihe

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ lässt sich in jedem Punkt $ a\in D$ in eine Taylor-Reihe entwickeln:

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \,(z-a)^n \,. $

Die Reihe konvergiert absolut für

$\displaystyle \vert z-a\vert < r = \left( \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} \left\vert f^{(n)}(a) / n! \right\vert^{1/n} \right)^{-1} \,. $

Dieser Konvergenzradius $ r$ ist gleich dem Abstand des Entwicklungspunktes $ a$ zur nächsten Singularität von $ f$, d.h. zum Rand des Analytizitätsgebietes.
Sei $ C$ ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um $ a$ mit Radius $ s$ und

$\displaystyle \vert z-a\vert < s < r \,, $

dann folgt aus der Integraldarstellung

$\displaystyle f^{(n)}(a) =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,dw $

die Abschätzung

$\displaystyle \frac{\vert f^{(n)}(a)\vert}{n!} \le \frac{1}{2\pi} (2\pi s) \frac{c}{s^{n+1}}= c s^{-n},\quad c = \max_{w\in C} \vert f(w)\vert \,. $

Damit ist der Betrag der Summanden in der Taylor-Reihe $ \le c (\vert z-a\vert/s)^n \,,$ die Reihe wird also durch eine konvergente geometrische Reihe majorisiert. Da $ s<r$ beliebig wählbar ist, erhält man Konvergenz auf der größten in $ D$ enthaltenen offenen Kreisscheibe.

Wie man leicht sieht, ist das Konvergenzgebiet maximal. Für $ \vert z-a\vert$ größer als der Abstand $ r$ von $ a$ zum Rand des Analytizitätsgebietes divergiert die Taylor-Reihe. Aus absoluter Konvergenz würde nämlich folgen, dass die offene Kreisscheibe mit Radius $ \vert z-a\vert$ zum Konvergenzgebiet gehört. Dies beweist ebenfalls die Äquivalenz zu der aus der Theorie reeller Reihen bekannten expliziten Formel für $ r$.

Als Beispiel wird die Taylor-Reihe zum Entwicklungspunkt $ a$ der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z} $

mit den beiden einfachen Polstellen $ z=0$ und $ z=1$ betrachtet.

Mit Hilfe der geometrischen Reihe erhält man

$\displaystyle \frac{1}{z}$ $\displaystyle = \frac{-1}{-a-(z-a)}=\frac{1}{a}\,\frac{1}{1-\frac{z-a}{-a}} =\frac{1}{a}\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-a)^n}{(-a)^n}$    

und analog


$\displaystyle \frac{1}{z-1}$ $\displaystyle = \frac{-1}{1-a-(z-a)}=\frac{1}{a-1}\,\frac{1}{1-\frac{z-a}{1-a}}= \frac{1}{a-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-a)^n}{(1-a)^n}\,,$    

wovon die erste Reihe für $ \vert z-a\vert <\vert a\vert$ und die zweite Reihe für $ \vert z-a\vert <\vert 1 -a\vert$ konvergiert. Damit ist der Konvergenzradius $ r$ der Taylor-Reihe

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{(1-a)^{n+1}}-\frac{-1}{(-a)^{n+1}}\right)(z-a)^n $

gerade der Abstand des Entwicklungspunktes $ a$ zur näheren Polstelle $ z=0$ oder $ z=1$,

$\displaystyle r=\min(\vert a\vert,\vert 1-a\vert)\,. $

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  automatisch erstellt am 21.11.2013