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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Potenzreihen - Taylor-Reihe

Methoden der Taylor-Entwicklung

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Einige Methoden der Taylor-Entwicklung sind:
Die Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt 0 der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^2+pz+q} $

mit $ p,q\in\mathbb{C}$ lässt sich durch Koeffizientenvergleich bestimmen.

Der Ansatz

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^2+pz+q} =\sum_{k=0}^ \infty c_k z^k $

liefert

$\displaystyle 1 = c_0q + (c_1q+c_0p)z + (c_2q+c_1p+c_0)z^2 + (c_3q+c_2p+c_1)z^3+\cdots\,, $

woraus sich die Koeffizienten $ c_k$ sukzessive berechnen lassen:

$\displaystyle c_0$ $\displaystyle = \frac{1}{q}$    
$\displaystyle c_1$ $\displaystyle = -\frac{p}{q^2}$    
$\displaystyle c_2$ $\displaystyle = -\frac{c_0+c_1 p}{q}= -\frac{1}{q^2}+\frac{p^2}{q^3}$    
  $\displaystyle \ldots$    
$\displaystyle c_n$ $\displaystyle = -\frac{c_{n-2}+c_{n-1}p}{q}\,.$    

Die komplexe Taylor-Entwicklung von

$\displaystyle f(z) = \operatorname{Ln}\frac{a+z}{a-z} $

im Punkt $ z=0$ lässt sich folgendermaßen berechnen. Man bildet zunächst

$\displaystyle f'(z) = \frac{a-z}{a+z} \frac{d}{dz} \frac{a+z}{a-z} = \frac{2}{a} \frac{1}{1-\left( z/a \right)^2} $

und erhält mit der Formel für die geometrische Reihe

$\displaystyle f'(z)= \frac{2}{a} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{z}{a} \right)^{2n} \,. $

Gliedweise Integration ergibt

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1/2} \left( \frac{z}{a} \right)^{2n+1} \,, $

wobei die Integrationskonstante aus $ f(0)=0$ bestimmt wurde.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013