Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis-Potenzreihen-Laurent-Reihe-Methoden der Laurent-Entwicklung

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	Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Potenzreihen - Laurent-Reihe
	Methoden der Laurent-Entwicklung

Einige Methoden der Laurent-Entwicklung sind:

Die Laurent-Entwicklung der Arcustangens-Funktion kann man durch gliedweise Integration der Reihendarstellung für die Ableitung

$\displaystyle \frac{d}{dz} \arctan z = \frac{1}{1+z^2}$

erhalten.

Für $\left\vert z \right\vert<1$ ergibt sich aus

$\displaystyle \frac{1}{1+z^2} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( -z^2 \right)^n$

die Taylor-Entwicklung

$\displaystyle \arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} \,.$

Für $\left\vert z \right\vert>1$ verwendet man

$\displaystyle \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{z^2} \frac{1}{1+1/z^2} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty \left( -z^2 \right)^{-n}$

und erhält die Laurent-Entwicklung

$\displaystyle \arctan z = \frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{-2n-1} \,.$

Die Integrationskonstante $\pi/2$ ergibt sich dabei durch Vergleich der Werte bei $z = \infty$ .

Mit Hilfe der Reihen

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n$

für $\vert z\vert<1$ bzw.

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\frac{1}{1-1/z}=-\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^{n+1}}$

für $\vert z\vert>1$ erhält man durch Differenzieren die Laurent-Reihen

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$	$\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} = 1+2z+3z^2+\cdots$
für $\vert z\vert<1$ bzw.
$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$	$\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{z^{n+2}} = \frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}+\frac{3}{z^4}+\cdots$

für $\vert z\vert>1$ . Durch weiteres Differenzieren ergeben sich die Laurent-Reihen von

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^m}$

für beliebiges $m\in\mathbb{N}$ .

automatisch erstellt am 21.11.2013