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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Grundfunktionen

Komplexe Exponentialfunktion

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Aufgrund der Formel von Euler-Moivre,

$\displaystyle e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi \,, $

lässt sich die komplexe Exponentialfunktion durch

$\displaystyle e^z = e^x (\cos y + \mathrm{i}\sin y) $

mit $ z=x+\mathrm{i}y$ definieren.

Es gilt

$\displaystyle \exp(z+2\pi\mathrm{i}) = \exp(z) \,, $

d.h. $ \exp(z)$ ist bezüglich des Imaginärteils $ y$ von $ z$ periodisch. Weiter folgt, dass jeder durch $ \operatorname{Im}z\in[s,s+2\pi)$ definierte Streifen bijektiv auf die gelochte Gauß-Ebene $ \mathbb{C}\backslash\{0\}$ abgebildet wird.
Horizontale Geraden $ z=t+\mathrm{i}y$, $ t\in\mathbb{R}$, werden auf Halbgeraden $ w=se^{\mathrm{i}y}$, $ s\in\mathbb{R^+}$, und vertikale Geraden $ z=x+\mathrm{i}t$, $ t\in\mathbb{R}$, auf Kreise $ \vert w\vert=e^x$ abgebildet.

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  automatisch erstellt am 21.11.2013