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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Grundfunktionen

Komplexer Logarithmus

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Die komplexe Logarithmusfunktion $ w = \operatorname{Ln}(z)$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $ z = \exp(w)$. Mit Hilfe der Polardarstellung

$\displaystyle z = r e^{\mathrm{i}\varphi},\quad r = \vert z\vert,\, \varphi = \operatorname{arg}(z) \,, $

gilt somit

$\displaystyle \operatorname{Ln}(z) = \ln(r) + \mathrm{i}(\varphi+2\pi k),$   für ein$\displaystyle \,\, k\in\mathbb{Z} \,, $

wobei $ \ln(r)$ der reelle Logarithmus von $ r$ ist. Alternativ erhält man durch Einsetzen von

$\displaystyle r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi = \operatorname{arctan}(y/x) $

eine Darstellung des Logarithmus mit Realteil $ x$ und Imaginärteil $ y$ von $ z$.

Aufgrund der Periodizität von $ \exp$ ist $ \varphi$ nur bis auf Vielfache von $ 2\pi$ bestimmt. Man sagt, der $ \operatorname{Ln}$ besitzt unendlich viele Zweige. Ein Standardbereich (Hauptzweig) ist

$\displaystyle \varphi = \operatorname{arg}(z) \in (-\pi,\pi]\,,\quad k=0\,. $

Obwohl $ \operatorname{Ln}$ so auf der gelochten Ebene $ \mathbb{C}\backslash\{0\}$ eindeutig definiert ist, erhält man keine global stetige Funktion. Beim Überschreiten der negativen reellen Achse ändert sich $ \operatorname{arg}(z)$ abrupt um $ 2\pi$. Eine singularitätenfreie Definition der Logarithmusfunktion ist nur auf Gebieten möglich, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten.

\includegraphics[width=.7\linewidth,bb= 123 582 288 688,clip]{log_im.eps}

Die Abbildung zeigt den Imaginärteil der Logarithmusfunktion für die Einheitskreisscheibe. Jede Windung entspricht einem Zweig der Funktion.

Der komplexe Logarithmus einer positiven reellen Zahl $ x$ nimmt außer dem reellen Logarithmus $ \ln(x)$ noch Werte an, die sich um Vielfache von $ 2\pi\mathrm{i}$ unterscheiden:

$\displaystyle \operatorname{Ln}(x)=\ln(x)+2\pi\mathrm{i}k\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,,\quad x\in \mathbb{R}^+\,, $

je nachdem, welcher Zweig gewählt wird. Der komplexe Logarithmus ist, im Gegensatz zum reellen Logarithmus, auch für negative reelle Zahlen $ x$ definiert. Hierbei gilt

$\displaystyle \operatorname{Ln}(x)=\ln(-x)+\pi\mathrm{i}(2k+1)\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,,\quad x\in \mathbb{R}^-\,. $

Beispielsweise ist der komplexe Logarithmus von $ z=\sqrt{2}e(1+\mathrm{i})$

$\displaystyle \operatorname{Ln}(z)=\operatorname{Ln}(2ee^\frac{\mathrm{i}\pi}{4})= 1+\ln(2)+\pi\mathrm{i}(8k+1)/4\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,. $

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  automatisch erstellt am 21.11.2013