Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis-Komplexe Funktionen-Grundfunktionen-Potenzen

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	Potenzen

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Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform $z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ . Für $m\in\mathbb{Z}$ ist

$\displaystyle z^m=r^me^{\mathrm{i}m\varphi} \,.$

Die gleiche Formel bleibt auch für rationale Exponenten $m=p/q\in\mathbb{Q}$ richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der

-ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung

die

Lösungen

$\displaystyle w=w_q^{kp} ,\quad w_q = \exp\left(2\pi\mathrm{i}/q\right) ,\quad k=0,\dots,q-1$

besitzt, erhält man entsprechend

$\displaystyle r^{p/q} \exp\left(\mathrm{i}p\varphi/{q}\right) w_p^{kp},\quad k=0,\dots,q-1$

als mögliche Werte für $z^{p/q}$ .

Um die Potenz

$\displaystyle z =(-1+\mathrm{i})^{2/3}$

zu berechnen, wandelt man in Polarform um und erhält

$\displaystyle \left(\sqrt{2} \exp\left(\frac{3 \pi \mathrm{i}}{4}\right)\right)... ...rt[3]{2} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\right) w_3^{2k}, \quad k=0,1,2\,,$

mit $w_3 = \exp(2\pi\mathrm{i}/3)$ . Die möglichen Werte sind also:

$\displaystyle z_0 =$	$\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \,,$
$\displaystyle z_1 =$	$\displaystyle \sqrt[3]{2} \; \mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \mathrm{i}}{3} \right) = \sqrt[3]{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,,$
$\displaystyle z_2 =$	$\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \exp\left( \frac{8 \pi \mathrm{i}}{3} \right) = \sqrt[3]{2}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,.$

Dies kann durch eine Probe bestätigt werden. Beispielsweise ist

$\displaystyle z_1^3 = \left(\sqrt[3]{2} \;\mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \ma... ... 2\mathrm{i}^3 \underbrace{\exp(4\pi\mathrm{i})}_{=1} = -2 \,\mathrm{i} \,,$

was mit $(-1+\mathrm{i})^2$ übereinstimmt.

Für irrationale und imaginäre Exponenten erhält man im Allgemeinen unendlich viele Lösungen, wie die folgenden Beispiele zeigen:

unendlich viele Lösungen auf dem Einheitskreis:

$\displaystyle \mathrm{i}^{\pi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\pi}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp \left(\mathrm{i}[\pi^2/2+2\pi^2 k]\right),\qquad k \in \mathbb{Z}$
unendlich viele Lösungen auf einer Halbgeraden:

$\displaystyle \pi^{\mathrm{i}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp (\ln \pi + 2\pi k\mathrm{i})^{\mathrm{i}} = \exp (\mathrm{i} \ln \pi -2\pi k)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp(-2\pi k) \exp(\mathrm{i}\ln \pi), \qquad k \in \mathbb{Z}$
unendlich viele Lösungen auf der positiven reellen Achse:

$\displaystyle \mathrm{i}^{\mathrm{i}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp (-\pi/2-2\pi k), \qquad k \in \mathbb{Z}$

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automatisch erstellt am 21.11.2013

$\displaystyle \mathrm{i}^{\pi}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\pi}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp \left(\mathrm{i}[\pi^2/2+2\pi^2 k]\right),\qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \pi^{\mathrm{i}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp (\ln \pi + 2\pi k\mathrm{i})^{\mathrm{i}} = \exp (\mathrm{i} \ln \pi -2\pi k)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp(-2\pi k) \exp(\mathrm{i}\ln \pi), \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \mathrm{i}^{\mathrm{i}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp (-\pi/2-2\pi k), \qquad k \in \mathbb{Z}$