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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Komplexe Differenzierbarkeit

Komplexe Differenzierbarkeit

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Eine komplexe Funktion $ f$ ist im Punkt $ z$ komplex differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert

$\displaystyle f'(z) = \lim_{\vert\Delta z\vert\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} $

existiert und unabhängig von der Folge $ \Delta z$ ist.

Ist $ f$ in jedem Punkt einer offenen Menge $ D\subseteq\mathbb{C}$ komplex differenzierbar, so heißt $ f$ komplex differenzierbar oder analytisch in $ D$.

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=z^2 $

betrachtet.

Für die Ableitung erhält man wie im Reellen

$\displaystyle f'(z)=\lim_{\vert\Delta z\vert\to 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\D... ...\lim_{\vert\Delta z\vert\to 0} \frac{2z\Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z} =2z\,. $

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\operatorname{Re}z $

betrachtet.

Da für $ t\in\mathbb{R}$ die Grenzwerte

$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{Re}(x+t+\mathrm{i}y) - \operatorname{Re}(x+\mathrm{i}y)}{t} = \lim_{t \to0} \frac{x+t-x}{t}$ $\displaystyle = 1$    

und


$\displaystyle \lim_{\mathrm{i}t\to0} \frac{\operatorname{Re}(x+\mathrm{i}(t+y))... ...atorname{Re}(x+\mathrm{i}y)}{\mathrm{i}t} = \lim_{t \to0} \frac{x-x}{\text{i}t}$ $\displaystyle = 0$    

verschieden sind, ist $ f$ an keinem Punkt $ z=x+\mathrm{i}y$ komplex differenzierbar.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013