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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Komplexe Differenzierbarkeit

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

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Eine komplexe Funktion

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\,,\quad z=x+\mathrm{i}y$

ist genau dann komplex differenzierbar, wenn die bivariate reelle Funktion $ f(x,y)=(u,v)^t$ total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen:

$\displaystyle u_x=v_y\, , \quad u_y=-v_x \,. $

In diesem Fall ist

$\displaystyle f^{\prime}=u_x+\mathrm{i}v_x=v_y-\mathrm{i}u_y\,.$

Es sind dann sowohl $ u$ als auch $ v$ harmonisch, d.h.

$\displaystyle \Delta u = u_{xx}+u_{yy} = 0 = \Delta v \,. $

Schreibt man $ f^{\prime}(z)=a+\mathrm{i}b$, dann folgt aus

$\displaystyle f(z+\triangle z)=f(z)+f^{\prime}(z)\triangle z+ o(\vert\triangle z\vert)$

mit $ \triangle z=\triangle x +\mathrm{i}\triangle y$ durch Vergleich von Real- und Imaginärteil, dass
$\displaystyle \left(\begin{array}{c} u(x+\triangle x,y+\triangle y) \\ v(x+\triangle x,y+\triangle y) \end{array} \right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} u(x,y) \\ v(x,y) \end{array} \right)+ \u... ...array}{c} \triangle x \\ \triangle y \end{array} \right) \right\vert\right)\,,$  

d.h. die reelle Differenzierbarkeit, wobei die partiellen Ableitungen $ a,b$ in der Jacobi-Matrix

$\displaystyle \operatorname{J} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left( \begin{array}{cc} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{array} \right) $

die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\displaystyle u_x=v_y,\quad u_y=-v_x\,, $

erfüllen müssen.

Hieraus folgt direkt

$\displaystyle \Delta u$ $\displaystyle =u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0$    

und


$\displaystyle \Delta v$ $\displaystyle =v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0\,.$    

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=e^z =e^{x+\mathrm{i}y}=\underbrace{e^x\cos y}_u +\mathrm{i}\,\underbrace{e^x\sin y}_v $

betrachtet.

Man erhält

$\displaystyle u_x(x,y)$ $\displaystyle = e^x\cos y = v_y(x,y)$    

und


$\displaystyle u_y(x,y)$ $\displaystyle = -e^x\sin y = -v_x(x,y)\,.$    

Damit ist $ f$ in jedem Punkt $ z$ komplex differenzierbar und


$\displaystyle f'(z)$ $\displaystyle =e^x\cos y +\mathrm{i}\,e^x\sin y=e^z\,.$    

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  automatisch erstellt am 21.11.2013