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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Komplexe Differenzierbarkeit

Konjugiert harmonische Funktionen

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Jede auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^2$ zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion $ u$ ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion $ f$:

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)\,,\,\,z=x+\mathrm{i} y.$

Die reelle Funktion $ v=\operatorname{Im} f$ erfüllt ebenfalls $ \triangle v=0$. Sie wird als konjugiert harmonisch zu $ u$ bezeichnet und $ f$ als komplexes Potential.
Das Vektorfeld $ G=(-u_y,u_x)^t$ erfüllt wegen $ \triangle u=0$ die Integrabilitätsbedingung $ \partial_x G_y-\partial_y G_x=0$. Folglich existiert ein Potential $ v$ mit

$\displaystyle G=\operatorname{grad} v \Leftrightarrow -u_y=v_x\,,\,\,u_x=v_y.$

Es gelten für $ (u,v)$ also die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, was die komplexe Differenzierbarkeit von $ f=u+\mathrm{i}v$ impliziert.
Um die zu

$\displaystyle u(x,y)=x^3-3xy^2$

konjugiert harmonische Funktion $ v$ zu bestimmen, verifiziert man zunächst, dass $ u$ harmonisch ist:

$\displaystyle \triangle u=u_{xx}+u_{yy}=(6x-0)-6x=0.$

Dann berechnet man $ v$ als Potential von

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} -u_y \\ u_x \end{array}\right)= \le... ...end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} v_x \\ v_y \end{array}\right).$

Aus $ v_x=6xy$ folgt $ v=3x^2y+c(y)$ und damit $ v_y=3x^2+c^{\prime} (y)$. Weiter impliziert $ 3x^2-3y^2=u_x=v_y=3x^2+c^{\prime}(y)$, dass $ c(y)=-y^3+c$ ist, d.h.

$\displaystyle v(x,y)=3x^2y-y^3+c.$

Als komplexes Potential erhält man

$\displaystyle f(z)=u+\mathrm{i}v=(x^3-3xy^2)+\mathrm{i}(3x^2-y^3+c)=z^3+c\,.$

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  automatisch erstellt am 21.11.2013