Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen-Klassifikation-Typ einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung

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	Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Klassifikation
	Typ einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Eine partielle Differentialgleichung

$\displaystyle \sum_{i,j=1}^na_{ij}\partial_i\partial_ju(x)+\sum_{i=1}^nb_i\partial_iu(x)+cu(x)=f(x)\ ,\quad x\in D\subseteq\mathrm{R}^n$

mit konstanten Koeffizienten $A=(a_{ij})$ heißt

elliptisch, wenn alle Eigenwerte von gleiches Vorzeichen haben
parabolisch, wenn mindestens ein Eigenwert von null ist, und die von Null verschiedenen Eigenwerte gleiches Vorzeichen haben
hyperbolisch, wenn Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen besitzt.

Hängen die Koeffizienten $a_{ij}$ von

ab, so muss die entsprechende Bedingung für alle $x\in D$ erfüllt sein. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung gemischten Typs.

(Autor: Kimmerle)

Für die Wellengleichung $u_{xx}=c^2u_{yy}$ ist

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -c^2\end{array}\right)\,,$

sie ist also hyperbolisch.

Die Laplace-Gleichung $u_{xx}+u_{yy}=0$ ist elliptisch, denn

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\,.$

Die Wärmeleitungsgleichung $u_x-u_{yy}=0$ mit

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$

ist parabolisch.

(Autor: Kimmerle)

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automatisch erstellt am 5.5.2011