Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen-Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung-Charakteristiken einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

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	Charakteristiken einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

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Für die partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_t+a^{\operatorname t}\operatorname{grad}_x\,u=\alpha u+f$

mit stetig differenzierbaren Funktionen $a_\nu\,,\alpha\,,f$ von

Variablen $(x_1,\ldots,x_n,t)$ bezeichnet man die durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

$\displaystyle \xi^\prime(t)=a(\xi(t),t)$

definierten Kurven $t\mapsto \xi(t)$ als Charakteristiken. Entlang dieser Kurven genügt eine stetig differenzierbare Lösung

$\displaystyle p(t)=u(\xi(t),t)$

der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung

$\displaystyle p^\prime(t)=\alpha(\xi(t),t)p(t)+f(\xi(t),t)\,,$

d.h. sie kann aus einem Anfangswert

an der Stelle $(\xi(t_0),t_0)$ durch Integration berechnet werden.

Ist sowohl $\alpha$ als auch gleich 0 , so ist die Lösung entlang der Charakteristiken konstant. Es muß dann nur das System gewöhnlicher Differentialgleichungen für $\xi(t)$ gelöst werden.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)

Im Fall konstanter Koeffizienten ( $a_\nu\in\mathbb{R}$ ) sind die Charakteristiken Geraden. Beispielsweise folgt für

$\displaystyle u_t-2u_x-3u_y=e^{x+y}$

dass

$\displaystyle \xi^\prime=-2$	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$	$\displaystyle \xi(t)=\alpha-2t$
$\displaystyle \eta^\prime=-3$	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$	$\displaystyle \eta(t)=\beta-3t$