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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

Charakteristiken einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung


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Für die partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_t+a^{\operatorname t}\operatorname{grad}_x\,u=\alpha u+f
$

mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a_\nu\,,\alpha\,,f$ von $ n+1$ Variablen $ (x_1,\ldots,x_n,t)$ bezeichnet man die durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

$\displaystyle \xi^\prime(t)=a(\xi(t),t)
$

definierten Kurven $ t\mapsto \xi(t)$ als Charakteristiken. Entlang dieser Kurven genügt eine stetig differenzierbare Lösung

$\displaystyle p(t)=u(\xi(t),t)
$

der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung

$\displaystyle p^\prime(t)=\alpha(\xi(t),t)p(t)+f(\xi(t),t)\,,
$

d.h. sie kann aus einem Anfangswert $ p(t_0)$ an der Stelle $ (\xi(t_0),t_0)$ durch Integration berechnet werden.

Ist sowohl $ \alpha$ als auch $ f$ gleich 0 , so ist die Lösung entlang der Charakteristiken konstant. Es muß dann nur das System gewöhnlicher Differentialgleichungen für $ \xi(t)$ gelöst werden.


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Im Fall konstanter Koeffizienten ( $ a_\nu\in\mathbb{R}$) sind die Charakteristiken Geraden. Beispielsweise folgt für

$\displaystyle u_t-2u_x-3u_y=e^{x+y}
$

dass
$\displaystyle \xi^\prime=-2$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle \xi(t)=\alpha-2t$  
$\displaystyle \eta^\prime=-3$ $\displaystyle \quad\Rightarrow\quad$ $\displaystyle \eta(t)=\beta-3t$  

und

$\displaystyle p^\prime(t)=e^{\alpha-2t+\beta-3t}\quad\Rightarrow\quad p(t)=\varphi(\alpha,\beta)-\frac{1}{5}\,e^{\alpha+\beta-5t}\,.
$

Damit gilt

$\displaystyle u(\alpha-2t,\beta-3t,t)=\varphi(\alpha,\beta)-\frac{1}{5}\,e^{\alpha+\beta-5t}
$

bzw.

$\displaystyle u(x,y,t)=\varphi(x+2t,y+3t)-\frac{1}{5}\,e^{x+y}
$

mit einer beliebigen stetig differenzierbaren Funktion $ \varphi$.
(Autor: Kimmerle)

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  automatisch erstellt am 5.5.2011