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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Folgen, Reihen, stetige Funktionen

Stetigkeit

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Begriff der Stetigkeit.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$f:D\to\mathbb{C}$}$ eine Funktion. $ \mbox{$f$}$ heißt stetig in einem Punkt $ \mbox{$z_0\in D$}$, falls gilt

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)\;=\; f(z_0)\; $}$
(i.e. falls der Grenzwert existiert).

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ heißt stetig auf $ \mbox{$D$}$, oder kurz stetig, falls $ \mbox{$f$}$ in jedem Punkt $ \mbox{$z_0\in D$}$ stetig ist.

Ist $ \mbox{$f$}$ eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall, so kann man anschaulich sagen, sie ist stetig, wenn man ihren Graph zeichnen kann ohne abzusetzen.

Sind $ \mbox{$f,g:D\to\mathbb{C}$}$ stetig in $ \mbox{$z_0\in D$}$, so sind auch die Funktionen $ \mbox{$f+g$}$, $ \mbox{$f-g$}$, $ \mbox{$f\cdot g$}$ und $ \mbox{$f/g$}$ stetig in $ \mbox{$z_0$}$; im letzteren Fall ist hier $ \mbox{$g(z_0) \neq 0$}$ zu fordern (und der Definitionsbereich ggf. anzupassen).

Insbesondere sind Polynome stetig. Daher sind auf ihrem Definitionsbereich sind auch alle rationalen Funktionen stetig.

Ferner ist $ \mbox{$\mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}$}$, $ \mbox{$z\mapsto\exp(z)$}$, stetig.

Verkettung stetiger Funktionen.

Seien $ \mbox{$D,E\subseteq \mathbb{C}$}$, sei $ \mbox{$f: D\longrightarrow E$}$ stetig in $ \mbox{$z_0\in D$}$, und sei $ \mbox{$g: E\longrightarrow \mathbb{C}$}$ stetig in $ \mbox{$f(z_0)\in E$}$. Dann ist $ \mbox{$g\circ f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ stetig in $ \mbox{$z_0\in D$}$.

Insbesondere, sind $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ stetig, so ist auch $ \mbox{$g\circ f$}$ stetig.

Zwischenwertsatz.

Seien $ \mbox{$a,b\in\mathbb{R}$}$, $ \mbox{$a \leq b$}$, sei $ \mbox{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ eine stetige Funktion. Sei $ \mbox{$f(a) \leq \eta \leq f(b)$}$ oder $ \mbox{$f(a) \geq \eta \geq f(b)$}$. Der Zwischenwertsatz garantiert nun die Existenz eines $ \mbox{$\xi\in [a,b]$}$ mit $ \mbox{$f(\xi) = \eta$}$.

Insbesondere, ist $ \mbox{$f:[a,b]\longrightarrow [c,d]$}$ eine stetige und streng monoton wachsende Funktion mit $ \mbox{$f(a) = c$}$ und $ \mbox{$f(b) = d$}$, so ist $ \mbox{$f$}$ bijektiv, und die Umkehrfunktion $ \mbox{$f^{-1}:[c,d]\longrightarrow [a,b]$}$ ist stetig.

Daraus folgt etwa, daß $ \mbox{$\mathbb{R}_{> 0}\longrightarrow \mathbb{R}$}$, $ \mbox{$x\mapsto\log(x)$}$, stetig ist, oder auch, daß $ \mbox{$\mathbb{R}_{\geq 0}\longrightarrow \mathbb{R}$}$, $ \mbox{$x\mapsto\sqrt[n]{x}$}$ stetig ist für $ \mbox{$n\geq 1$}$.

Extrema auf kompakten Mengen.

Eine Teilmenge $ \mbox{$K\subseteq \mathbb{C}$}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Abgeschlossen heißt hierbei, daß $ \mbox{$K = \bar K$}$. Beschränkt heißt, daß es ein $ \mbox{$R > 0$}$ gibt mit $ \mbox{$K\subseteq B_R(0)$}$.

Z.B. sind $ \mbox{$[0,1]\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$\overline {B_1(0)}\subseteq \mathbb{C}$}$ kompakt. Nicht kompakt sind z.B. $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ selbst.

Sei $ \mbox{$K\subseteq \mathbb{C}$}$ kompakt, und sei $ \mbox{$f:K\longrightarrow \mathbb{R}$}$ stetig. Dann gibt es ein $ \mbox{$z_0\in K$}$ mit $ \mbox{$f(z_0) = \min f(K) = \inf f(K)$}$, und ein $ \mbox{$z_1\in K$}$ mit $ \mbox{$f(z_1) = \max f(K) = \sup f(K)$}$. Kurz, eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge nimmt Minimum und Maximum an.

Gleichmäßige Stetigkeit.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$. Eine Funktion $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ heißt gleichmäßig stetig, falls für alle $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ so existiert, daß

$ \mbox{$\displaystyle \vert f(z) - f(w)\vert \; < \; \varepsilon $}$
wann immer $ \mbox{$\vert z - w\vert < \delta$}$.

Da man den Punkt $ \mbox{$w$}$ nun fixieren kann, ist eine gleichmäßig stetige Funktion insbesondere stetig.

Hingegen ist etwa $ \mbox{$(0,1] \longrightarrow \mathbb{C}$}$, $ \mbox{$x\mapsto 1/x$}$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig (warum?).

Auf einem kompakten Definitionsbereich ist aber jede stetige komplexwertige Funktion gleichmäßig stetig.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004