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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Integration

Partialbruchzerlegung

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Es stellt sich das Problem nach der Berechnung von Integralen des Typs

$ \mbox{$\displaystyle \int \frac{f(x)}{g(x)}\,{\mbox{d}}x\; , $}$
mit Polynomen $ \mbox{$f(x)$}$, $ \mbox{$g(x)$}$ mit Koeffizienten in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$.

Zunächst führen wir eine Polynomdivision durch und integrieren separat zum einen das daraus hervorgehende Polynom, zum anderen das Restpolynom, geteilt durch $ \mbox{$g(x)$}$. Wir können in unserer Problemstellung also annehmen, daß $ \mbox{$f(x)$}$ echt kleineren Grad als $ \mbox{$g(x)$}$ hat, und daß $ \mbox{$g(x)$}$ normiert ist, also Leitkoeffizient $ \mbox{$1$}$ hat.

Wir bezeichnen in diesem Kapitel mit $ \mbox{$[a,b] := \{ j\in\mathbb{Z}\; \vert\; a\leq j\leq b\}$}$ für $ \mbox{$a,b\in\mathbb{Z}$}$ das ganzzahlige Intervall.

Man möchte den Integranden in der Form

$ \mbox{$\displaystyle (\ast) \rule{3cm}{0cm} \frac{f(x)}{g(x)} \; = \; \sum_{l\in [1,k]}\;\sum_{j\in [1,m_l]} \frac{w_{l,j}}{(x - z_l)^j} \rule{3cm}{0cm} $}$
schreiben, wobei $ \mbox{$z_l\in\mathbb{C}$}$ für $ \mbox{$l\in [1,k]$}$ die verschiedenen komplexen Nullstellen von $ \mbox{$g(x)$}$ durchläuft, und wobei $ \mbox{$m_l$}$ die Multiplizität von $ \mbox{$z_l$}$ als Nullstelle von $ \mbox{$g(x) = \prod_{l\in [1,k]} (x - z_l)^{m_l}$}$ anzeigt.

Unsere Aufgabe ist es, die Koeffizienten $ \mbox{$w_{l,j}\in\mathbb{C}$}$ zu bestimmen.

Für $ \mbox{$l_0\in [1,k]$}$ sei $ \mbox{$g_{l_0}(x) := \prod_{l\in [1,k]\backslash \{l_0\}} (x - z_l)^{m_l}$}$.

Multiplizieren wir unseren Ansatz $ \mbox{$(\ast)$}$ mit $ \mbox{$(x - z_{l_0})^{m_{l_0}}$}$ und setzen dann $ \mbox{$x = z_{l_0}$}$ ein, so erhalten wir

$ \mbox{$\displaystyle \frac{f(z_{l_0})}{g_{l_0}(z_{l_0})} \; = \; w_{l_0,m_{l_0}} \;. $}$
Da man die linke Seite durch 'Zuhalten' eines Faktors im Nenner und nachfolgendes Einsetzen von $ \mbox{$z_{l_0}$}$ bekommt, ist diese Methode auch als Zuhalteverfahren bekannt.

Spaltet $ \mbox{$g(x)$}$ in verschiedene Linearfaktoren auf, d.h. ist $ \mbox{$m_l = 1$}$ stets, dann ist man an dieser Stelle fertig.

Ansonsten ziehe man die erhaltenen Terme auf der linken Seite ab und wende auf den Restterm

$ \mbox{$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} - \sum_{l\in [1,k]} \frac{w_{l,m_l}}{(... ... \; =\; \sum_{l\in [1,k]}\;\sum_{j\in [1,m_l-1]} \frac{w_{l,j}}{(x - z_l)^j} $}$
erneut das Zuhalteverfahren an. Dies setzt man so fort, bis der Restterm verschwindet.

Zurück zum ursprünglichen Problem. Man kann nun das Integral berechnen zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int {\displaystyle\frac... ...tyle\frac{w_{l,j}}{(j-1)(x - z_l)^{j-1}}} \;+\; {\mbox{const.}} \end{array}$}$
Hierbei bezeichnet $ \mbox{${\operatorname{Log}}$}$ den Hauptzweig des Logarithmus, d.h. ist $ \mbox{$z = r\cdot\exp(\mathrm{i}\varphi )$}$ mit $ \mbox{$r\in\mathbb{R}_{> 0}$}$ und $ \mbox{$\varphi \in (-\pi,\pi]$}$ für ein $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\backslash \{ 0\}$}$, so ist $ \mbox{${\operatorname{Log}}z = \log r + \mathrm{i}\varphi $}$.

Oft können im Resultat auftretende Terme noch zusammengefaßt werden mittels

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Log}}(x - a - b\mathrm{i}) - {\operatorna... ...nst.}} \; =\; 2\mathrm{i}\arctan\left(\frac{x-a}{b}\right) + {\mbox{const.}} $}$
für $ \mbox{$a\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$b\in\mathbb{R}\backslash \{0\}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004