Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Kristallographische Gruppen-Grundlagen-Kristallklassen

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kristallographische Gruppen - Grundlagen
	Kristallklassen - Äquivalenz

Seien

und

kristallographische Gruppen.

und heißen geometrisch äquivalent, wenn es ein $X \in O(n,\mathbb{R})$ gibt mit $X G_0 X^{-1} = H_0$ . Schreibweise: $G \mathrel{\widehat{=}} H$ .
Die Äquivalenzklassen von $\mathrel{\widehat{=}}$ nennt man (geometrische) Kristallklassen.
und heißen arithmetisch äquivalent, wenn es ein $X \in GL(n,\mathbb{R})$ gibt mit $\Gamma_G = X \Gamma_H$ und $G_0 =XH_0X^{-1}$ . Schreibweise: $G \sim H$ .
Die Äquivalenzklassen von $\sim$ nennt man arithmetische Kristallklassen.

Bemerkungen:

Die arithmetischen Kristallklassen von $\mathbb{R}^n$ stehen in Bijektion zu den Konjugationsklassen endlicher Untergruppen von $GL(n,\mathbb{Z})$ .
Die geometrischen Kristallklassen von $\mathbb{R}^n$ stehen in Bijektion zu den Konjugationsklassen endlicher Untergruppen von $GL(n,\mathbb{Q})$ .
Arithmetische Äquivalenz impliziert geometrische Äquivalenz
( $G \sim H \Rightarrow G \mathrel{\widehat{=}} H$ ).

(Autor: Baur)

automatisch erstellt am 14.11.2008

Kristallklassen - Äquivalenz