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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kristallographische Gruppen - Kristallographische Punktgruppen

Kristallographische Beschränkung

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Sei $ A \in GL(3, \mathbb{Z} )$ und $ A^m = E $ Dann gilt:
$ m=1,2,3,4$ oder $ 6$ .

(Autor: Baur)
Zunächst gilt allgemein: Ist $ A\in GL(n,\mathbb{Z})$ und $ A^m=E$ , dann gilt $ \varphi(m)\leq n$ .

Wobei $ \varphi(m)=\vert\{x\in \mathbb{N}\vert x\leq m, ggT(x,m)=1\}\vert$ die Eulersche Phi-Funktion bezeichne.

Denn: Das chrakteristische Polynom $ \chi(x)$ von $ A$ hat Grad $ n$ . Der Grad des $ m$ -ten irreduziblen Kreisteilungspolynoms $ \varphi_m(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ist $ \varphi(m)$ . $ A$ erfüllt $ \chi$ . Somit wird $ \chi(x)$ von $ \varphi_m(x)$ geteilt. Also folgt für die Grade $ \varphi(m)\leq n$ .

Für $ n=3$ ergeben sich für $ m$ nur die möglichen Werte $ m\in {1,2,3,4,6}$ ,
da $ \varphi(1)=1$ , $ \varphi(2)=1$ , $ \varphi(3)=2$ , $ \varphi(4)=2$ , $ \varphi(6)=2$
und für alle anderen $ k\in\mathbb{N}$ gilt $ \varphi(k)>3$ .

(Autor: Baur )
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  automatisch erstellt am 14.11.2008