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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Einleitung - Erste Ergebnisse

Nebenklassen

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Sei $ G$ eine Gruppe und $ H\leq G$ eine Untergruppe von $ G$. Die Mengen der Form

$\displaystyle gH=\{gh\vert h \in H\}$    mit $\displaystyle g \in G $

nennt man die Linksnebenklassen von $ H$ in $ G$.
Für $ g_1,g_2 \in G$ gilt stets entweder

$\displaystyle g_1H=g_2H$    oder $\displaystyle \ g_1H \cap g_2H=\emptyset $

Enthält eine Menge $ R$ aus jeder Linksnebenklasse genau ein Element, so nennt man $ R$ ein System von Repräsentanten der Linksnebenklassen. Mit Hilfe eines solchen Systems von Repräsentanten $ R$ lässt sich $ G$ disjunkt in die Linksnebenklassen von $ H$ zerlegen:

$\displaystyle G=\bigcup\limits_{r \in R} rH. $


Analog definiert man die Rechtsnebenklassen von $ H$ in $ G$ als

$\displaystyle Hg=\{hg\vert h \in H\}$    mit $\displaystyle g \in G. $

Für Rechtsnebenklassen gelten die entsprechenden Aussagen wie für Linksnebenklassen.

Alle Nebenklassen von $ H$ besitzen gleich viele Elemente. Die Anzahl dieser Elemente nennt man den Index $ \vert G:H\vert$ von $ H$ in $ G$.
Für kommutative Gruppen fallen die Begriffe Rechts- und Linksnebenklassen zusammen.
(Autor: Christian Höfert)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008