Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Abelsche Gruppen-Grundbegriffe-Erzeuger einer abelschen Gruppe

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Abelsche Gruppen - Grundbegriffe
	Erzeuger einer abelschen Gruppe

Sei

eine abelsche Gruppe.

heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge $S = \{s_1, \ldots ,s_k\}$ von gibt, so dass sich jedes Element $a \in A$ als $\mathbb{Z}$ - Linearkombination mit Elementen aus schreiben lässt, d.h.

$\displaystyle a = \sum _{i=1}^k z_i s_i \$ mit $\displaystyle \ z_i \in \mathbb{Z}$
Falls es keine solche Teilmenge gibt, nennt man nicht endlich erzeugt.
$S \subset A$ nennt man Erzeugendensystem, wenn sich jedes $a \in A$ als $\mathbb{Z}$ - Linearkombination mit Elementen aus schreiben lässt.
heißt frei, wenn es ein Erzeugendensystem gibt, so dass sich jedes $a \in A \setminus \{0\}$ in eindeutiger Weise als $\mathbb{Z}$ - Linearkombination schreiben lässt. nennt man dann eine Basis von .
Die triviale Gruppe ist frei auf $\emptyset$ .
heißt zyklisch, wenn von einem Element erzeugt ist.
Schreibweise: $A = \langle x \rangle$ .