Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Abelsche Gruppen-Zyklische Gruppen-Direktes Produkt und Produkt zyklischer Gruppen

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Abelsche Gruppen - Zyklische Gruppen
	Direktes Produkt und Produkt zyklischer Gruppen

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a)

Sei

eine Gruppe mit den Normalteiler

und

. Ist $N_1 \cap N_2=1$ und $G=\langle N_1 ,N_2 \rangle$ , dann gilt

$\displaystyle G \cong N_1 \times N_2 \,.$

b)

Sei $m=t_1 \cdot t_2 \in {\mathbb{N}}$ mit

, dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/t_1{\mathbb{Z}} \times {\mathbb{Z}}/t_2{\mathbb{Z}} \,.$

c)

Sei $m \in {\mathbb{N}}$ und $m=p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$ die Primfaktorzerlegung von

. Dann ist

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/p_1^{\alpha_1}{\mathbb{Z}} \times \ldots \times {\mathbb{Z}}/p_k^{\alpha_k}{\mathbb{Z}} \,.$

a)

Definiere die Abbildung

$\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \varphi : & N_1 \times N_2& \longrightarrow & G \\ &(n_1,n_2) & \longmapsto & n_1n_2 \end{array} \,. \end{displaymath}$

$\varphi$ ist injektiv, denn für $\varphi((n_1,n_2))=\varphi((m_1,m_2))$ gilt

$\displaystyle n_1n_2=m_1m_2 \ \Rightarrow \ m_1^{-1}n_1n_2=m_2 \ \Rightarrow \ m_1^{-1}n_1 \in N_1 \cap N_2 \ \Rightarrow \ m_1=n_1 \,.$

Analog gilt

und damit

$\varphi$ ist surjektiv, denn jedes $g \in G$ kann wegen $G= \langle N_1,N_2 \rangle$ und $N_1,N_2 \unlhd G$ als mit $n_1 \in N_1$ und $n_2 \in N_2$ geschrieben werden.