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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Abelsche Gruppen - Zyklische Gruppen

Struktursatz endlicher zyklischer Gruppen

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Sei $ A$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung $ m$, dann gilt:
a)
Zu jedem Teiler $ t$ von $ m$ gibt es genau eine Untergruppe $ U$ von $ A$ der Ordnung $ t$.
b)
Jede Untergruppe von $ A$ ist zyklisch.
c)
$ A$ ist genau dann unzerlegbar, wenn $ m=p^k$ für eine Primzahl $ p$ und ein $ k \in \mathbb{N}$.
b)
Sind $ m_1 ,m_2 \in {\mathbb{Z}}$, dann existieren nach dem Euklidischen Algorithmus Zahlen $ k_1,k_2 \in {\mathbb{Z}}$ mit $ k_1m_1+k_2m_2=ggT(m_1,m_2)$. Sei nun $ U \leq G = {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}}$ und $ U = \langle m_1+m{\mathbb{Z}},m_2 + m{\mathbb{Z}}, \ldots , m_l +m {\mathbb{Z}} \rangle$. Durch induktives Anwenden der Aussage über direkte Produkte von zyklischen Gruppen erhält man $ U=\langle t + m{\mathbb{Z}} \rangle$ mit $ t=ggT(m_1, \ldots, m_l)$.

a)
Sei $ G={\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}}$ und $ a+m{\mathbb{Z}} \in G$. Sei $ n$ das kleinste Element, so dass $ n(a+m{\mathbb{Z}})=na+m{\mathbb{Z}}=0$, d.h. $ n$ ist die Ordnung von $ a+m{\mathbb{Z}}$. Dann ist $ na=km$. Da $ n$ kleinst ist, sind $ n$ und $ k$ teilerfremd. Es ist also $ a=k\frac{m}{n}$ und $ \frac{m}{n} \in {\mathbb{N}}$. Also ist $ a+m{\mathbb{Z}} \in \langle \frac{m}{n} + m {\mathbb{Z}} \rangle$. Die Gruppe $ \langle \frac{m}{n} + m {\mathbb{Z}} \rangle$ hat Ordnung $ n$ und alle Elemente der Ordnung $ n$ liegen in $ \langle \frac{m}{n} + m {\mathbb{Z}} \rangle$. Da alle Untergruppen zyklisch sind, gibt es nur eine einzige Untergruppe der Ordnung $ n$.

c)
Die Aussage folgt aus Teil a) und der Aussage über direkte Produkte zyklischer Gruppen.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008