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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Der Satz von Sylow

Satz von Cauchy

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Sei $ G$ eine endliche Gruppe und $ p$ eine Primzahl die $ \vert G\vert$ teilt. Dann besitzt $ G$ mindestens ein Element der Ordnung $ p$.
Sei $ \vert G\vert=p^a\cdot n$ mit $ (p,a)=1$. Nach dem Sylowsatz besitzt $ G$ eine $ p-$Sylowgruppe $ S$ mit $ \vert S\vert=p^a$. Nach dem Satz von Lagrange hat eine zyklische Untergruppe von $ S$ Ordnung $ p^b$ mit $ b<a$. Sei nun also $ s \in S$, dann ist $ \vert \langle s \rangle \vert=o(s)=p^b$. Insbesondere ist $ s^{p^{b-1}}$ ein Element der Ordnung $ p$ in $ S$ und damit in $ G$.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008